Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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17 / 60910 / 40371
↖ ↑ ↗
← N 56.675847°
W 12.705689°		 ← 167.79 m → N 56.675847°
W 12.702942°		 →
↑
167.75 m
↓
↑
167.75 m
↓
N 56.674339°
W 12.705689°		 ← 167.80 m →
28 148 m²		 N 56.674339°
W 12.702942°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 17 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 60910 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 40371 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.464710235595703 y=0.308010101318359 und der Vergrößerungsstufe zoom=17 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.464710235595703 × 217)
    floor (0.464710235595703 × 131072)
    floor (60910.5)     		tx = 60910
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.308010101318359 × 217)
    floor (0.308010101318359 × 131072)
    floor (40371.5)     		ty = 40371
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 17 / 60910 / 40371 ti = "17/60910/40371"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/17/60910/40371.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 60910 ÷ 217
    60910 ÷ 131072     		x = 0.464706420898438
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 40371 ÷ 217
    40371 ÷ 131072     		y = 0.308006286621094
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.464706420898438 × 2 - 1) × π
    -0.070587158203125 × 3.1415926535     		Λ = -0.22175610
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.308006286621094 × 2 - 1) × π
    0.383987426757812 × 3.1415926535     		Φ = 1.20633207893871
    Länge (λ) Λ (unverändert) -0.22175610} λ = -0.22175610}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(1.20633207893871))-π/2
    2×atan(3.34120686630369)-π/2
    2×1.2799882346969-π/2
    2.5599764693938-1.57079632675     		φ = 0.98918014
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -0.22175610} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -12.705689°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 0.98918014 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 56.675847°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 60910 KachelY 40371 -0.22175610 0.98918014 -12.705689 56.675847
    Oben rechts KachelX + 1 60911 KachelY 40371 -0.22170816 0.98918014 -12.702942 56.675847
    Unten links KachelX 60910 KachelY + 1 40372 -0.22175610 0.98915381 -12.705689 56.674339
    Unten rechts KachelX + 1 60911 KachelY + 1 40372 -0.22170816 0.98915381 -12.702942 56.674339
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(0.98918014-0.98915381) × R
    2.63299999999633e-05 × 6371000     		dl = 167.748429999766m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(0.98918014-0.98915381) × R
    2.63299999999633e-05 × 6371000     		dr = 167.748429999766m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-0.22175610--0.22170816) × cos(0.98918014) × R
    4.79400000000241e-05 × 0.549375100357079 × 6371000     		do = 167.79329656422m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-0.22175610--0.22170816) × cos(0.98915381) × R
    4.79400000000241e-05 × 0.549397100878744 × 6371000     		du = 167.800016089829m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(0.98918014)-sin(0.98915381))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.549375100357079-0.549397100878744)×R²
    abs(-0.22170816--0.22175610)×2.20005216641228e-05×R²
    4.79400000000241e-05×2.20005216641228e-05×6371000²
    4.79400000000241e-05×2.20005216641228e-05×40589641000000     		ar = 28147.6256595304m²