Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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17 / 60910 / 32498
↖ ↑ ↗
← N 66.807058°
W 12.705689°		 ← 120.29 m → N 66.807058°
W 12.702942°		 →
↑
120.28 m
↓
↑
120.28 m
↓
N 66.805976°
W 12.705689°		 ← 120.29 m →
14 469 m²		 N 66.805976°
W 12.702942°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 17 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 60910 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 32498 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.464710235595703 y=0.247943878173828 und der Vergrößerungsstufe zoom=17 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.464710235595703 × 217)
    floor (0.464710235595703 × 131072)
    floor (60910.5)     		tx = 60910
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.247943878173828 × 217)
    floor (0.247943878173828 × 131072)
    floor (32498.5)     		ty = 32498
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 17 / 60910 / 32498 ti = "17/60910/32498"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/17/60910/32498.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 60910 ÷ 217
    60910 ÷ 131072     		x = 0.464706420898438
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 32498 ÷ 217
    32498 ÷ 131072     		y = 0.247940063476562
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.464706420898438 × 2 - 1) × π
    -0.070587158203125 × 3.1415926535     		Λ = -0.22175610
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.247940063476562 × 2 - 1) × π
    0.504119873046875 × 3.1415926535     		Φ = 1.58373928964742
    Länge (λ) Λ (unverändert) -0.22175610} λ = -0.22175610}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(1.58373928964742))-π/2
    2×atan(4.8731438812795)-π/2
    2×1.3683997236428-π/2
    2.7367994472856-1.57079632675     		φ = 1.16600312
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -0.22175610} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -12.705689°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 1.16600312 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 66.807058°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 60910 KachelY 32498 -0.22175610 1.16600312 -12.705689 66.807058
    Oben rechts KachelX + 1 60911 KachelY 32498 -0.22170816 1.16600312 -12.702942 66.807058
    Unten links KachelX 60910 KachelY + 1 32499 -0.22175610 1.16598424 -12.705689 66.805976
    Unten rechts KachelX + 1 60911 KachelY + 1 32499 -0.22170816 1.16598424 -12.702942 66.805976
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(1.16600312-1.16598424) × R
    1.88800000000544e-05 × 6371000     		dl = 120.284480000347m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(1.16600312-1.16598424) × R
    1.88800000000544e-05 × 6371000     		dr = 120.284480000347m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-0.22175610--0.22170816) × cos(1.16600312) × R
    4.79400000000241e-05 × 0.39382868781681 × 6371000     		do = 120.285418409739m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-0.22175610--0.22170816) × cos(1.16598424) × R
    4.79400000000241e-05 × 0.393846041937856 × 6371000     		du = 120.290718805001m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(1.16600312)-sin(1.16598424))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.39382868781681-0.393846041937856)×R²
    abs(-0.22170816--0.22175610)×1.73541210454764e-05×R²
    4.79400000000241e-05×1.73541210454764e-05×6371000²
    4.79400000000241e-05×1.73541210454764e-05×40589641000000     		ar = 14468.7877831811m²