Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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14 / 6091 / 10141
↖ ↑ ↗
← S 39.317300°
W 46.164551°		 ← 1 890.24 m → S 39.317300°
W 46.142578°		 →
↑
1 890.02 m
↓
↑
1 890.02 m
↓
S 39.334297°
W 46.164551°		 ← 1 889.78 m →
3 572 159 m²		 S 39.334297°
W 46.142578°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 14 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 6091 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 10141 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.371795654296875 y=0.618988037109375 und der Vergrößerungsstufe zoom=14 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.371795654296875 × 214)
    floor (0.371795654296875 × 16384)
    floor (6091.5)     		tx = 6091
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.618988037109375 × 214)
    floor (0.618988037109375 × 16384)
    floor (10141.5)     		ty = 10141
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 14 / 6091 / 10141 ti = "14/6091/10141"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/14/6091/10141.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 6091 ÷ 214
    6091 ÷ 16384     		x = 0.37176513671875
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 10141 ÷ 214
    10141 ÷ 16384     		y = 0.61895751953125
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.37176513671875 × 2 - 1) × π
    -0.2564697265625 × 3.1415926535     		Λ = -0.80572341
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.61895751953125 × 2 - 1) × π
    -0.2379150390625 × 3.1415926535     		Φ = -0.747432138875916
    Länge (λ) Λ (unverändert) -0.80572341} λ = -0.80572341}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-0.747432138875916))-π/2
    2×atan(0.473581083153456)-π/2
    2×0.442289991151125-π/2
    0.884579982302249-1.57079632675     		φ = -0.68621634
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -0.80572341} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -46.164551°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -0.68621634 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -39.317300°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 6091 KachelY 10141 -0.80572341 -0.68621634 -46.164551 -39.317300
    Oben rechts KachelX + 1 6092 KachelY 10141 -0.80533991 -0.68621634 -46.142578 -39.317300
    Unten links KachelX 6091 KachelY + 1 10142 -0.80572341 -0.68651300 -46.164551 -39.334297
    Unten rechts KachelX + 1 6092 KachelY + 1 10142 -0.80533991 -0.68651300 -46.142578 -39.334297
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-0.68621634--0.68651300) × R
    0.00029666000000006 × 6371000     		dl = 1890.02086000038m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-0.68621634--0.68651300) × R
    0.00029666000000006 × 6371000     		dr = 1890.02086000038m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-0.80572341--0.80533991) × cos(-0.68621634) × R
    0.000383499999999981 × 0.773648928921031 × 6371000     		do = 1890.23979458069m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-0.80572341--0.80533991) × cos(-0.68651300) × R
    0.000383499999999981 × 0.773460926802857 × 6371000     		du = 1889.7804530474m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-0.68621634)-sin(-0.68651300))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.773648928921031-0.773460926802857)×R²
    abs(-0.80533991--0.80572341)×0.000188002118173158×R²
    0.000383499999999981×0.000188002118173158×6371000²
    0.000383499999999981×0.000188002118173158×40589641000000     		ar = 3572158.58581928m²