Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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17 / 60909 / 32509
↖ ↑ ↗
← N 66.795156°
W 12.708435°		 ← 120.32 m → N 66.795156°
W 12.705689°		 →
↑
120.35 m
↓
↑
120.35 m
↓
N 66.794074°
W 12.708435°		 ← 120.32 m →
14 480 m²		 N 66.794074°
W 12.705689°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 17 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 60909 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 32509 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.464702606201172 y=0.248027801513672 und der Vergrößerungsstufe zoom=17 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.464702606201172 × 217)
    floor (0.464702606201172 × 131072)
    floor (60909.5)     		tx = 60909
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.248027801513672 × 217)
    floor (0.248027801513672 × 131072)
    floor (32509.5)     		ty = 32509
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 17 / 60909 / 32509 ti = "17/60909/32509"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/17/60909/32509.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 60909 ÷ 217
    60909 ÷ 131072     		x = 0.464698791503906
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 32509 ÷ 217
    32509 ÷ 131072     		y = 0.248023986816406
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.464698791503906 × 2 - 1) × π
    -0.0706024169921875 × 3.1415926535     		Λ = -0.22180403
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.248023986816406 × 2 - 1) × π
    0.503952026367188 × 3.1415926535     		Φ = 1.58321198375159
    Länge (λ) Λ (unverändert) -0.22180403} λ = -0.22180403}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(1.58321198375159))-π/2
    2×atan(4.87057492115315)-π/2
    2×1.36829586438136-π/2
    2.73659172876272-1.57079632675     		φ = 1.16579540
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -0.22180403} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -12.708435°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 1.16579540 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 66.795156°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 60909 KachelY 32509 -0.22180403 1.16579540 -12.708435 66.795156
    Oben rechts KachelX + 1 60910 KachelY 32509 -0.22175610 1.16579540 -12.705689 66.795156
    Unten links KachelX 60909 KachelY + 1 32510 -0.22180403 1.16577651 -12.708435 66.794074
    Unten rechts KachelX + 1 60910 KachelY + 1 32510 -0.22175610 1.16577651 -12.705689 66.794074
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(1.16579540-1.16577651) × R
    1.88899999999936e-05 × 6371000     		dl = 120.348189999959m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(1.16579540-1.16577651) × R
    1.88899999999936e-05 × 6371000     		dr = 120.348189999959m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-0.22180403--0.22175610) × cos(1.16579540) × R
    4.79300000000016e-05 × 0.394019612190022 × 6371000     		do = 120.318628638162m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-0.22180403--0.22175610) × cos(1.16577651) × R
    4.79300000000016e-05 × 0.394036973957106 × 6371000     		du = 120.323930262603m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(1.16579540)-sin(1.16577651))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.394019612190022-0.394036973957106)×R²
    abs(-0.22175610--0.22180403)×1.73617670838344e-05×R²
    4.79300000000016e-05×1.73617670838344e-05×6371000²
    4.79300000000016e-05×1.73617670838344e-05×40589641000000     		ar = 14480.4482006804m²