Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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17 / 60908 / 40328
↖ ↑ ↗
← N 56.740675°
W 12.711182°		 ← 167.50 m → N 56.740675°
W 12.708435°		 →
↑
167.49 m
↓
↑
167.49 m
↓
N 56.739168°
W 12.711182°		 ← 167.51 m →
28 056 m²		 N 56.739168°
W 12.708435°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 17 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 60908 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 40328 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.464694976806641 y=0.307682037353516 und der Vergrößerungsstufe zoom=17 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.464694976806641 × 217)
    floor (0.464694976806641 × 131072)
    floor (60908.5)     		tx = 60908
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.307682037353516 × 217)
    floor (0.307682037353516 × 131072)
    floor (40328.5)     		ty = 40328
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 17 / 60908 / 40328 ti = "17/60908/40328"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/17/60908/40328.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 60908 ÷ 217
    60908 ÷ 131072     		x = 0.464691162109375
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 40328 ÷ 217
    40328 ÷ 131072     		y = 0.30767822265625
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.464691162109375 × 2 - 1) × π
    -0.07061767578125 × 3.1415926535     		Λ = -0.22185197
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.30767822265625 × 2 - 1) × π
    0.3846435546875 × 3.1415926535     		Φ = 1.20839336562238
    Länge (λ) Λ (unverändert) -0.22185197} λ = -0.22185197}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(1.20839336562238))-π/2
    2×atan(3.34810115463584)-π/2
    2×1.28055395703415-π/2
    2.5611079140683-1.57079632675     		φ = 0.99031159
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -0.22185197} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -12.711182°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 0.99031159 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 56.740675°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 60908 KachelY 40328 -0.22185197 0.99031159 -12.711182 56.740675
    Oben rechts KachelX + 1 60909 KachelY 40328 -0.22180403 0.99031159 -12.708435 56.740675
    Unten links KachelX 60908 KachelY + 1 40329 -0.22185197 0.99028530 -12.711182 56.739168
    Unten rechts KachelX + 1 60909 KachelY + 1 40329 -0.22180403 0.99028530 -12.708435 56.739168
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(0.99031159-0.99028530) × R
    2.62899999999844e-05 × 6371000     		dl = 167.493589999901m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(0.99031159-0.99028530) × R
    2.62899999999844e-05 × 6371000     		dr = 167.493589999901m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-0.22185197--0.22180403) × cos(0.99031159) × R
    4.79399999999963e-05 × 0.54842933661544 × 6371000     		do = 167.504435973467m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-0.22185197--0.22180403) × cos(0.99028530) × R
    4.79399999999963e-05 × 0.548451320042524 × 6371000     		du = 167.511150277952m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(0.99031159)-sin(0.99028530))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.54842933661544-0.548451320042524)×R²
    abs(-0.22180403--0.22185197)×2.1983427083816e-05×R²
    4.79399999999963e-05×2.1983427083816e-05×6371000²
    4.79399999999963e-05×2.1983427083816e-05×40589641000000     		ar = 28056.4816250552m²