Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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17 / 60905 / 40282
↖ ↑ ↗
← N 56.809900°
W 12.719421°		 ← 167.16 m → N 56.809900°
W 12.716675°		 →
↑
167.18 m
↓
↑
167.18 m
↓
N 56.808397°
W 12.719421°		 ← 167.17 m →
27 946 m²		 N 56.808397°
W 12.716675°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 17 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 60905 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 40282 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.464672088623047 y=0.307331085205078 und der Vergrößerungsstufe zoom=17 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.464672088623047 × 217)
    floor (0.464672088623047 × 131072)
    floor (60905.5)     		tx = 60905
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.307331085205078 × 217)
    floor (0.307331085205078 × 131072)
    floor (40282.5)     		ty = 40282
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 17 / 60905 / 40282 ti = "17/60905/40282"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/17/60905/40282.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 60905 ÷ 217
    60905 ÷ 131072     		x = 0.464668273925781
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 40282 ÷ 217
    40282 ÷ 131072     		y = 0.307327270507812
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.464668273925781 × 2 - 1) × π
    -0.0706634521484375 × 3.1415926535     		Λ = -0.22199578
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.307327270507812 × 2 - 1) × π
    0.385345458984375 × 3.1415926535     		Φ = 1.2105984630049
    Länge (λ) Λ (unverändert) -0.22199578} λ = -0.22199578}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(1.2105984630049))-π/2
    2×atan(3.35549218970951)-π/2
    2×1.28115806980521-π/2
    2.56231613961042-1.57079632675     		φ = 0.99151981
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -0.22199578} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -12.719421°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 0.99151981 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 56.809900°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 60905 KachelY 40282 -0.22199578 0.99151981 -12.719421 56.809900
    Oben rechts KachelX + 1 60906 KachelY 40282 -0.22194785 0.99151981 -12.716675 56.809900
    Unten links KachelX 60905 KachelY + 1 40283 -0.22199578 0.99149357 -12.719421 56.808397
    Unten rechts KachelX + 1 60906 KachelY + 1 40283 -0.22194785 0.99149357 -12.716675 56.808397
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(0.99151981-0.99149357) × R
    2.62399999999552e-05 × 6371000     		dl = 167.175039999714m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(0.99151981-0.99149357) × R
    2.62399999999552e-05 × 6371000     		dr = 167.175039999714m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-0.22199578--0.22194785) × cos(0.99151981) × R
    4.79300000000016e-05 × 0.547418626740241 × 6371000     		do = 167.160863121218m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-0.22199578--0.22194785) × cos(0.99149357) × R
    4.79300000000016e-05 × 0.547440585729764 × 6371000     		du = 167.167568562835m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(0.99151981)-sin(0.99149357))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.547418626740241-0.547440585729764)×R²
    abs(-0.22194785--0.22199578)×2.19589895223971e-05×R²
    4.79300000000016e-05×2.19589895223971e-05×6371000²
    4.79300000000016e-05×2.19589895223971e-05×40589641000000     		ar = 27945.6844715162m²