Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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17 / 60904 / 40740
↖ ↑ ↗
← N 56.114936°
W 12.722168°		 ← 170.28 m → N 56.114936°
W 12.719421°		 →
↑
170.30 m
↓
↑
170.30 m
↓
N 56.113404°
W 12.722168°		 ← 170.29 m →
28 999 m²		 N 56.113404°
W 12.719421°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 17 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 60904 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 40740 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.464664459228516 y=0.310825347900391 und der Vergrößerungsstufe zoom=17 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.464664459228516 × 217)
    floor (0.464664459228516 × 131072)
    floor (60904.5)     		tx = 60904
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.310825347900391 × 217)
    floor (0.310825347900391 × 131072)
    floor (40740.5)     		ty = 40740
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 17 / 60904 / 40740 ti = "17/60904/40740"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/17/60904/40740.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 60904 ÷ 217
    60904 ÷ 131072     		x = 0.46466064453125
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 40740 ÷ 217
    40740 ÷ 131072     		y = 0.310821533203125
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.46466064453125 × 2 - 1) × π
    -0.0706787109375 × 3.1415926535     		Λ = -0.22204372
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.310821533203125 × 2 - 1) × π
    0.37835693359375 × 3.1415926535     		Φ = 1.18864336297891
    Länge (λ) Λ (unverändert) -0.22204372} λ = -0.22204372}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(1.18864336297891))-π/2
    2×atan(3.28262485483576)-π/2
    2×1.275093357309-π/2
    2.55018671461799-1.57079632675     		φ = 0.97939039
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -0.22204372} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -12.722168°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 0.97939039 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 56.114936°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 60904 KachelY 40740 -0.22204372 0.97939039 -12.722168 56.114936
    Oben rechts KachelX + 1 60905 KachelY 40740 -0.22199578 0.97939039 -12.719421 56.114936
    Unten links KachelX 60904 KachelY + 1 40741 -0.22204372 0.97936366 -12.722168 56.113404
    Unten rechts KachelX + 1 60905 KachelY + 1 40741 -0.22199578 0.97936366 -12.719421 56.113404
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(0.97939039-0.97936366) × R
    2.67300000000859e-05 × 6371000     		dl = 170.296830000547m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(0.97939039-0.97936366) × R
    2.67300000000859e-05 × 6371000     		dr = 170.296830000547m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-0.22204372--0.22199578) × cos(0.97939039) × R
    4.79399999999963e-05 × 0.557528722735317 × 6371000     		do = 170.283622712676m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-0.22204372--0.22199578) × cos(0.97936366) × R
    4.79399999999963e-05 × 0.557550912650115 × 6371000     		du = 170.290400083824m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(0.97939039)-sin(0.97936366))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.557528722735317-0.557550912650115)×R²
    abs(-0.22199578--0.22204372)×2.21899147981874e-05×R²
    4.79399999999963e-05×2.21899147981874e-05×6371000²
    4.79399999999963e-05×2.21899147981874e-05×40589641000000     		ar = 28999.338233053m²