Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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17 / 60902 / 40250
↖ ↑ ↗
← N 56.857982°
W 12.727661°		 ← 166.95 m → N 56.857982°
W 12.724915°		 →
↑
166.92 m
↓
↑
166.92 m
↓
N 56.856481°
W 12.727661°		 ← 166.95 m →
27 867 m²		 N 56.856481°
W 12.724915°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 17 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 60902 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 40250 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.464649200439453 y=0.307086944580078 und der Vergrößerungsstufe zoom=17 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.464649200439453 × 217)
    floor (0.464649200439453 × 131072)
    floor (60902.5)     		tx = 60902
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.307086944580078 × 217)
    floor (0.307086944580078 × 131072)
    floor (40250.5)     		ty = 40250
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 17 / 60902 / 40250 ti = "17/60902/40250"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/17/60902/40250.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 60902 ÷ 217
    60902 ÷ 131072     		x = 0.464645385742188
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 40250 ÷ 217
    40250 ÷ 131072     		y = 0.307083129882812
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.464645385742188 × 2 - 1) × π
    -0.070709228515625 × 3.1415926535     		Λ = -0.22213959
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.307083129882812 × 2 - 1) × π
    0.385833740234375 × 3.1415926535     		Φ = 1.21213244379274
    Länge (λ) Λ (unverändert) -0.22213959} λ = -0.22213959}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(1.21213244379274))-π/2
    2×atan(3.36064340018112)-π/2
    2×1.28157766520199-π/2
    2.56315533040398-1.57079632675     		φ = 0.99235900
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -0.22213959} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -12.727661°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 0.99235900 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 56.857982°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 60902 KachelY 40250 -0.22213959 0.99235900 -12.727661 56.857982
    Oben rechts KachelX + 1 60903 KachelY 40250 -0.22209166 0.99235900 -12.724915 56.857982
    Unten links KachelX 60902 KachelY + 1 40251 -0.22213959 0.99233280 -12.727661 56.856481
    Unten rechts KachelX + 1 60903 KachelY + 1 40251 -0.22209166 0.99233280 -12.724915 56.856481
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(0.99235900-0.99233280) × R
    2.61999999999762e-05 × 6371000     		dl = 166.920199999849m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(0.99235900-0.99233280) × R
    2.61999999999762e-05 × 6371000     		dr = 166.920199999849m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-0.22213959--0.22209166) × cos(0.99235900) × R
    4.79300000000016e-05 × 0.546716150431049 × 6371000     		do = 166.946353529416m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-0.22213959--0.22209166) × cos(0.99233280) × R
    4.79300000000016e-05 × 0.54673808797528 × 6371000     		du = 166.953052422456m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(0.99235900)-sin(0.99233280))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.546716150431049-0.54673808797528)×R²
    abs(-0.22209166--0.22213959)×2.19375442309655e-05×R²
    4.79300000000016e-05×2.19375442309655e-05×6371000²
    4.79300000000016e-05×2.19375442309655e-05×40589641000000     		ar = 27867.277812283m²