Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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17 / 60901 / 40811
↖ ↑ ↗
← N 56.006060°
W 12.730408°		 ← 170.77 m → N 56.006060°
W 12.727661°		 →
↑
170.81 m
↓
↑
170.81 m
↓
N 56.004524°
W 12.730408°		 ← 170.77 m →
29 168 m²		 N 56.004524°
W 12.727661°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 17 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 60901 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 40811 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.464641571044922 y=0.311367034912109 und der Vergrößerungsstufe zoom=17 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.464641571044922 × 217)
    floor (0.464641571044922 × 131072)
    floor (60901.5)     		tx = 60901
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.311367034912109 × 217)
    floor (0.311367034912109 × 131072)
    floor (40811.5)     		ty = 40811
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 17 / 60901 / 40811 ti = "17/60901/40811"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/17/60901/40811.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 60901 ÷ 217
    60901 ÷ 131072     		x = 0.464637756347656
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 40811 ÷ 217
    40811 ÷ 131072     		y = 0.311363220214844
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.464637756347656 × 2 - 1) × π
    -0.0707244873046875 × 3.1415926535     		Λ = -0.22218753
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.311363220214844 × 2 - 1) × π
    0.377273559570312 × 3.1415926535     		Φ = 1.18523984310589
    Länge (λ) Λ (unverändert) -0.22218753} λ = -0.22218753}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(1.18523984310589))-π/2
    2×atan(3.27147136723179)-π/2
    2×1.27414323620112-π/2
    2.54828647240225-1.57079632675     		φ = 0.97749015
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -0.22218753} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -12.730408°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 0.97749015 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 56.006060°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 60901 KachelY 40811 -0.22218753 0.97749015 -12.730408 56.006060
    Oben rechts KachelX + 1 60902 KachelY 40811 -0.22213959 0.97749015 -12.727661 56.006060
    Unten links KachelX 60901 KachelY + 1 40812 -0.22218753 0.97746334 -12.730408 56.004524
    Unten rechts KachelX + 1 60902 KachelY + 1 40812 -0.22213959 0.97746334 -12.727661 56.004524
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(0.97749015-0.97746334) × R
    2.68099999999327e-05 × 6371000     		dl = 170.806509999571m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(0.97749015-0.97746334) × R
    2.68099999999327e-05 × 6371000     		dr = 170.806509999571m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-0.22218753--0.22213959) × cos(0.97749015) × R
    4.79399999999963e-05 × 0.559105213964889 × 6371000     		do = 170.765123713072m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-0.22218753--0.22213959) × cos(0.97746334) × R
    4.79399999999963e-05 × 0.55912744184683 × 6371000     		du = 170.771912680362m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(0.97749015)-sin(0.97746334))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.559105213964889-0.55912744184683)×R²
    abs(-0.22213959--0.22218753)×2.22278819403954e-05×R²
    4.79399999999963e-05×2.22278819403954e-05×6371000²
    4.79399999999963e-05×2.22278819403954e-05×40589641000000     		ar = 29168.3746127704m²