Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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17 / 60901 / 40249
↖ ↑ ↗
← N 56.859484°
W 12.730408°		 ← 166.97 m → N 56.859484°
W 12.727661°		 →
↑
166.98 m
↓
↑
166.98 m
↓
N 56.857982°
W 12.730408°		 ← 166.98 m →
27 883 m²		 N 56.857982°
W 12.727661°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 17 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 60901 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 40249 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.464641571044922 y=0.307079315185547 und der Vergrößerungsstufe zoom=17 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.464641571044922 × 217)
    floor (0.464641571044922 × 131072)
    floor (60901.5)     		tx = 60901
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.307079315185547 × 217)
    floor (0.307079315185547 × 131072)
    floor (40249.5)     		ty = 40249
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 17 / 60901 / 40249 ti = "17/60901/40249"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/17/60901/40249.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 60901 ÷ 217
    60901 ÷ 131072     		x = 0.464637756347656
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 40249 ÷ 217
    40249 ÷ 131072     		y = 0.307075500488281
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.464637756347656 × 2 - 1) × π
    -0.0707244873046875 × 3.1415926535     		Λ = -0.22218753
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.307075500488281 × 2 - 1) × π
    0.385848999023438 × 3.1415926535     		Φ = 1.21218038069236
    Länge (λ) Λ (unverändert) -0.22218753} λ = -0.22218753}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(1.21218038069236))-π/2
    2×atan(3.3608045028678)-π/2
    2×1.28159076887755-π/2
    2.5631815377551-1.57079632675     		φ = 0.99238521
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -0.22218753} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -12.730408°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 0.99238521 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 56.859484°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 60901 KachelY 40249 -0.22218753 0.99238521 -12.730408 56.859484
    Oben rechts KachelX + 1 60902 KachelY 40249 -0.22213959 0.99238521 -12.727661 56.859484
    Unten links KachelX 60901 KachelY + 1 40250 -0.22218753 0.99235900 -12.730408 56.857982
    Unten rechts KachelX + 1 60902 KachelY + 1 40250 -0.22213959 0.99235900 -12.727661 56.857982
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(0.99238521-0.99235900) × R
    2.62100000000265e-05 × 6371000     		dl = 166.983910000169m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(0.99238521-0.99235900) × R
    2.62100000000265e-05 × 6371000     		dr = 166.983910000169m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-0.22218753--0.22213959) × cos(0.99238521) × R
    4.79399999999963e-05 × 0.546694204138207 × 6371000     		do = 166.97448185261m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-0.22218753--0.22213959) × cos(0.99235900) × R
    4.79399999999963e-05 × 0.546716150431049 × 6371000     		du = 166.981184815342m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(0.99238521)-sin(0.99235900))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.546694204138207-0.546716150431049)×R²
    abs(-0.22213959--0.22218753)×2.19462928422454e-05×R²
    4.79399999999963e-05×2.19462928422454e-05×6371000²
    4.79399999999963e-05×2.19462928422454e-05×40589641000000     		ar = 27882.6114949124m²