Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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17 / 60900 / 33796
↖ ↑ ↗
← N 65.362258°
W 12.733154°		 ← 127.33 m → N 65.362258°
W 12.730408°		 →
↑
127.36 m
↓
↑
127.36 m
↓
N 65.361112°
W 12.733154°		 ← 127.33 m →
16 216 m²		 N 65.361112°
W 12.730408°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 17 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 60900 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 33796 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.464633941650391 y=0.257846832275391 und der Vergrößerungsstufe zoom=17 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.464633941650391 × 217)
    floor (0.464633941650391 × 131072)
    floor (60900.5)     		tx = 60900
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.257846832275391 × 217)
    floor (0.257846832275391 × 131072)
    floor (33796.5)     		ty = 33796
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 17 / 60900 / 33796 ti = "17/60900/33796"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/17/60900/33796.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 60900 ÷ 217
    60900 ÷ 131072     		x = 0.464630126953125
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 33796 ÷ 217
    33796 ÷ 131072     		y = 0.257843017578125
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.464630126953125 × 2 - 1) × π
    -0.07073974609375 × 3.1415926535     		Λ = -0.22223547
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.257843017578125 × 2 - 1) × π
    0.48431396484375 × 3.1415926535     		Φ = 1.52151719394058
    Länge (λ) Λ (unverändert) -0.22223547} λ = -0.22223547}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(1.52151719394058))-π/2
    2×atan(4.5791674125166)-π/2
    2×1.35579146172773-π/2
    2.71158292345546-1.57079632675     		φ = 1.14078660
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -0.22223547} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -12.733154°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 1.14078660 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 65.362258°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 60900 KachelY 33796 -0.22223547 1.14078660 -12.733154 65.362258
    Oben rechts KachelX + 1 60901 KachelY 33796 -0.22218753 1.14078660 -12.730408 65.362258
    Unten links KachelX 60900 KachelY + 1 33797 -0.22223547 1.14076661 -12.733154 65.361112
    Unten rechts KachelX + 1 60901 KachelY + 1 33797 -0.22218753 1.14076661 -12.730408 65.361112
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(1.14078660-1.14076661) × R
    1.99899999999698e-05 × 6371000     		dl = 127.356289999807m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(1.14078660-1.14076661) × R
    1.99899999999698e-05 × 6371000     		dr = 127.356289999807m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-0.22223547--0.22218753) × cos(1.14078660) × R
    4.79399999999963e-05 × 0.416879643732906 × 6371000     		do = 127.325773678049m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-0.22223547--0.22218753) × cos(1.14076661) × R
    4.79399999999963e-05 × 0.416897813793891 × 6371000     		du = 127.331323282372m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(1.14078660)-sin(1.14076661))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.416879643732906-0.416897813793891)×R²
    abs(-0.22218753--0.22223547)×1.8170060985534e-05×R²
    4.79399999999963e-05×1.8170060985534e-05×6371000²
    4.79399999999963e-05×1.8170060985534e-05×40589641000000     		ar = 16216.0915461552m²