Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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17 / 60898 / 33786
↖ ↑ ↗
← N 65.373705°
W 12.738647°		 ← 127.27 m → N 65.373705°
W 12.735901°		 →
↑
127.23 m
↓
↑
127.23 m
↓
N 65.372560°
W 12.738647°		 ← 127.28 m →
16 193 m²		 N 65.372560°
W 12.735901°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 17 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 60898 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 33786 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.464618682861328 y=0.257770538330078 und der Vergrößerungsstufe zoom=17 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.464618682861328 × 217)
    floor (0.464618682861328 × 131072)
    floor (60898.5)     		tx = 60898
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.257770538330078 × 217)
    floor (0.257770538330078 × 131072)
    floor (33786.5)     		ty = 33786
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 17 / 60898 / 33786 ti = "17/60898/33786"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/17/60898/33786.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 60898 ÷ 217
    60898 ÷ 131072     		x = 0.464614868164062
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 33786 ÷ 217
    33786 ÷ 131072     		y = 0.257766723632812
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.464614868164062 × 2 - 1) × π
    -0.070770263671875 × 3.1415926535     		Λ = -0.22233134
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.257766723632812 × 2 - 1) × π
    0.484466552734375 × 3.1415926535     		Φ = 1.52199656293678
    Länge (λ) Λ (unverändert) -0.22233134} λ = -0.22233134}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(1.52199656293678))-π/2
    2×atan(4.5813630496207)-π/2
    2×1.35589135955025-π/2
    2.71178271910049-1.57079632675     		φ = 1.14098639
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -0.22233134} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -12.738647°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 1.14098639 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 65.373705°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 60898 KachelY 33786 -0.22233134 1.14098639 -12.738647 65.373705
    Oben rechts KachelX + 1 60899 KachelY 33786 -0.22228340 1.14098639 -12.735901 65.373705
    Unten links KachelX 60898 KachelY + 1 33787 -0.22233134 1.14096642 -12.738647 65.372560
    Unten rechts KachelX + 1 60899 KachelY + 1 33787 -0.22228340 1.14096642 -12.735901 65.372560
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(1.14098639-1.14096642) × R
    1.99699999998693e-05 × 6371000     		dl = 127.228869999167m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(1.14098639-1.14096642) × R
    1.99699999998693e-05 × 6371000     		dr = 127.228869999167m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-0.22233134--0.22228340) × cos(1.14098639) × R
    4.79399999999963e-05 × 0.416698033957014 × 6371000     		do = 127.270305377856m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-0.22233134--0.22228340) × cos(1.14096642) × R
    4.79399999999963e-05 × 0.416716187501875 × 6371000     		du = 127.275849937729m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(1.14098639)-sin(1.14096642))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.416698033957014-0.416716187501875)×R²
    abs(-0.22228340--0.22233134)×1.81535448611214e-05×R²
    4.79399999999963e-05×1.81535448611214e-05×6371000²
    4.79399999999963e-05×1.81535448611214e-05×40589641000000     		ar = 16192.8098522911m²