Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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17 / 60897 / 33784
↖ ↑ ↗
← N 65.375994°
W 12.741394°		 ← 127.26 m → N 65.375994°
W 12.738647°		 →
↑
127.23 m
↓
↑
127.23 m
↓
N 65.374849°
W 12.741394°		 ← 127.26 m →
16 191 m²		 N 65.374849°
W 12.738647°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 17 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 60897 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 33784 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.464611053466797 y=0.257755279541016 und der Vergrößerungsstufe zoom=17 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.464611053466797 × 217)
    floor (0.464611053466797 × 131072)
    floor (60897.5)     		tx = 60897
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.257755279541016 × 217)
    floor (0.257755279541016 × 131072)
    floor (33784.5)     		ty = 33784
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 17 / 60897 / 33784 ti = "17/60897/33784"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/17/60897/33784.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 60897 ÷ 217
    60897 ÷ 131072     		x = 0.464607238769531
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 33784 ÷ 217
    33784 ÷ 131072     		y = 0.25775146484375
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.464607238769531 × 2 - 1) × π
    -0.0707855224609375 × 3.1415926535     		Λ = -0.22237928
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.25775146484375 × 2 - 1) × π
    0.4844970703125 × 3.1415926535     		Φ = 1.52209243673602
    Länge (λ) Λ (unverändert) -0.22237928} λ = -0.22237928}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(1.52209243673602))-π/2
    2×atan(4.58180230335809)-π/2
    2×1.35591133389154-π/2
    2.71182266778307-1.57079632675     		φ = 1.14102634
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -0.22237928} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -12.741394°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 1.14102634 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 65.375994°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 60897 KachelY 33784 -0.22237928 1.14102634 -12.741394 65.375994
    Oben rechts KachelX + 1 60898 KachelY 33784 -0.22233134 1.14102634 -12.738647 65.375994
    Unten links KachelX 60897 KachelY + 1 33785 -0.22237928 1.14100637 -12.741394 65.374849
    Unten rechts KachelX + 1 60898 KachelY + 1 33785 -0.22233134 1.14100637 -12.738647 65.374849
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(1.14102634-1.14100637) × R
    1.99700000000913e-05 × 6371000     		dl = 127.228870000582m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(1.14102634-1.14100637) × R
    1.99700000000913e-05 × 6371000     		dr = 127.228870000582m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-0.22237928--0.22233134) × cos(1.14102634) × R
    4.79400000000241e-05 × 0.416661717278144 × 6371000     		do = 127.259213329412m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-0.22237928--0.22233134) × cos(1.14100637) × R
    4.79400000000241e-05 × 0.41667987115544 × 6371000     		du = 127.264757990819m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(1.14102634)-sin(1.14100637))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.416661717278144-0.41667987115544)×R²
    abs(-0.22233134--0.22237928)×1.81538772963674e-05×R²
    4.79400000000241e-05×1.81538772963674e-05×6371000²
    4.79400000000241e-05×1.81538772963674e-05×40589641000000     		ar = 16191.3986301792m²