Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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17 / 60896 / 40280
↖ ↑ ↗
← N 56.812907°
W 12.744140°		 ← 167.15 m → N 56.812907°
W 12.741394°		 →
↑
167.18 m
↓
↑
167.18 m
↓
N 56.811404°
W 12.744140°		 ← 167.15 m →
27 943 m²		 N 56.811404°
W 12.741394°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 17 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 60896 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 40280 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.464603424072266 y=0.307315826416016 und der Vergrößerungsstufe zoom=17 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.464603424072266 × 217)
    floor (0.464603424072266 × 131072)
    floor (60896.5)     		tx = 60896
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.307315826416016 × 217)
    floor (0.307315826416016 × 131072)
    floor (40280.5)     		ty = 40280
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 17 / 60896 / 40280 ti = "17/60896/40280"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/17/60896/40280.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 60896 ÷ 217
    60896 ÷ 131072     		x = 0.464599609375
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 40280 ÷ 217
    40280 ÷ 131072     		y = 0.30731201171875
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.464599609375 × 2 - 1) × π
    -0.07080078125 × 3.1415926535     		Λ = -0.22242721
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.30731201171875 × 2 - 1) × π
    0.3853759765625 × 3.1415926535     		Φ = 1.21069433680414
    Länge (λ) Λ (unverändert) -0.22242721} λ = -0.22242721}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(1.21069433680414))-π/2
    2×atan(3.35581390891603)-π/2
    2×1.28118431030416-π/2
    2.56236862060832-1.57079632675     		φ = 0.99157229
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -0.22242721} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -12.744140°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 0.99157229 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 56.812907°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 60896 KachelY 40280 -0.22242721 0.99157229 -12.744140 56.812907
    Oben rechts KachelX + 1 60897 KachelY 40280 -0.22237928 0.99157229 -12.741394 56.812907
    Unten links KachelX 60896 KachelY + 1 40281 -0.22242721 0.99154605 -12.744140 56.811404
    Unten rechts KachelX + 1 60897 KachelY + 1 40281 -0.22237928 0.99154605 -12.741394 56.811404
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(0.99157229-0.99154605) × R
    2.62400000000662e-05 × 6371000     		dl = 167.175040000422m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(0.99157229-0.99154605) × R
    2.62400000000662e-05 × 6371000     		dr = 167.175040000422m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-0.22242721--0.22237928) × cos(0.99157229) × R
    4.79299999999738e-05 × 0.547374707630456 × 6371000     		do = 167.147451892601m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-0.22242721--0.22237928) × cos(0.99154605) × R
    4.79299999999738e-05 × 0.5473966673738 × 6371000     		du = 167.154157564407m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(0.99157229)-sin(0.99154605))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.547374707630456-0.5473966673738)×R²
    abs(-0.22237928--0.22242721)×2.19597433440688e-05×R²
    4.79299999999738e-05×2.19597433440688e-05×6371000²
    4.79299999999738e-05×2.19597433440688e-05×40589641000000     		ar = 27943.4424682008m²