Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

Tele ← 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 → Makro
17 / 60896 / 33780
↖ ↑ ↗
← N 65.380571°
W 12.744140°		 ← 127.21 m → N 65.380571°
W 12.741394°		 →
↑
127.23 m
↓
↑
127.23 m
↓
N 65.379427°
W 12.744140°		 ← 127.22 m →
16 185 m²		 N 65.379427°
W 12.741394°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 17 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 60896 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 33780 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.464603424072266 y=0.257724761962891 und der Vergrößerungsstufe zoom=17 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.464603424072266 × 217)
    floor (0.464603424072266 × 131072)
    floor (60896.5)     		tx = 60896
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.257724761962891 × 217)
    floor (0.257724761962891 × 131072)
    floor (33780.5)     		ty = 33780
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 17 / 60896 / 33780 ti = "17/60896/33780"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/17/60896/33780.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 60896 ÷ 217
    60896 ÷ 131072     		x = 0.464599609375
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 33780 ÷ 217
    33780 ÷ 131072     		y = 0.257720947265625
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.464599609375 × 2 - 1) × π
    -0.07080078125 × 3.1415926535     		Λ = -0.22242721
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.257720947265625 × 2 - 1) × π
    0.48455810546875 × 3.1415926535     		Φ = 1.5222841843345
    Länge (λ) Λ (unverändert) -0.22242721} λ = -0.22242721}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(1.5222841843345))-π/2
    2×atan(4.58268093718174)-π/2
    2×1.35595127735186-π/2
    2.71190255470372-1.57079632675     		φ = 1.14110623
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -0.22242721} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -12.744140°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 1.14110623 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 65.380571°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 60896 KachelY 33780 -0.22242721 1.14110623 -12.744140 65.380571
    Oben rechts KachelX + 1 60897 KachelY 33780 -0.22237928 1.14110623 -12.741394 65.380571
    Unten links KachelX 60896 KachelY + 1 33781 -0.22242721 1.14108626 -12.744140 65.379427
    Unten rechts KachelX + 1 60897 KachelY + 1 33781 -0.22237928 1.14108626 -12.741394 65.379427
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(1.14110623-1.14108626) × R
    1.99700000000913e-05 × 6371000     		dl = 127.228870000582m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(1.14110623-1.14108626) × R
    1.99700000000913e-05 × 6371000     		dr = 127.228870000582m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-0.22242721--0.22237928) × cos(1.14110623) × R
    4.79299999999738e-05 × 0.416589091016431 × 6371000     		do = 127.210490508563m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-0.22242721--0.22237928) × cos(1.14108626) × R
    4.79299999999738e-05 × 0.416607245558427 × 6371000     		du = 127.21603421636m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(1.14110623)-sin(1.14108626))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.416589091016431-0.416607245558427)×R²
    abs(-0.22237928--0.22242721)×1.81545419963847e-05×R²
    4.79299999999738e-05×1.81545419963847e-05×6371000²
    4.79299999999738e-05×1.81545419963847e-05×40589641000000     		ar = 16185.1996200003m²