Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

Tele ← 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 → Makro
17 / 60895 / 84002
↖ ↑ ↗
← S 45.154927°
W 12.746887°		 ← 215.38 m → S 45.154927°
W 12.744140°		 →
↑
215.40 m
↓
↑
215.40 m
↓
S 45.156864°
W 12.746887°		 ← 215.38 m →
46 394 m²		 S 45.156864°
W 12.744140°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 17 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 60895 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 84002 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.464595794677734 y=0.640888214111328 und der Vergrößerungsstufe zoom=17 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.464595794677734 × 217)
    floor (0.464595794677734 × 131072)
    floor (60895.5)     		tx = 60895
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.640888214111328 × 217)
    floor (0.640888214111328 × 131072)
    floor (84002.5)     		ty = 84002
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 17 / 60895 / 84002 ti = "17/60895/84002"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/17/60895/84002.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 60895 ÷ 217
    60895 ÷ 131072     		x = 0.464591979980469
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 84002 ÷ 217
    84002 ÷ 131072     		y = 0.640884399414062
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.464591979980469 × 2 - 1) × π
    -0.0708160400390625 × 3.1415926535     		Λ = -0.22247515
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.640884399414062 × 2 - 1) × π
    -0.281768798828125 × 3.1415926535     		Φ = -0.885202788383957
    Länge (λ) Λ (unverändert) -0.22247515} λ = -0.22247515}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-0.885202788383957))-π/2
    2×atan(0.41263048812429)-π/2
    2×0.391347087416486-π/2
    0.782694174832971-1.57079632675     		φ = -0.78810215
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -0.22247515} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -12.746887°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -0.78810215 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -45.154927°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 60895 KachelY 84002 -0.22247515 -0.78810215 -12.746887 -45.154927
    Oben rechts KachelX + 1 60896 KachelY 84002 -0.22242721 -0.78810215 -12.744140 -45.154927
    Unten links KachelX 60895 KachelY + 1 84003 -0.22247515 -0.78813596 -12.746887 -45.156864
    Unten rechts KachelX + 1 60896 KachelY + 1 84003 -0.22242721 -0.78813596 -12.744140 -45.156864
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-0.78810215--0.78813596) × R
    3.3810000000023e-05 × 6371000     		dl = 215.403510000146m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-0.78810215--0.78813596) × R
    3.3810000000023e-05 × 6371000     		dr = 215.403510000146m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-0.22247515--0.22242721) × cos(-0.78810215) × R
    4.79400000000241e-05 × 0.705192191234163 × 6371000     		do = 215.383846850024m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-0.22247515--0.22242721) × cos(-0.78813596) × R
    4.79400000000241e-05 × 0.70516821899335 × 6371000     		du = 215.376525110634m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-0.78810215)-sin(-0.78813596))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.705192191234163-0.70516821899335)×R²
    abs(-0.22242721--0.22247515)×2.39722408129639e-05×R²
    4.79400000000241e-05×2.39722408129639e-05×6371000²
    4.79400000000241e-05×2.39722408129639e-05×40589641000000     		ar = 46393.6480488965m²