Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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17 / 60895 / 40309
↖ ↑ ↗
← N 56.769283°
W 12.746887°		 ← 167.38 m → N 56.769283°
W 12.744140°		 →
↑
167.37 m
↓
↑
167.37 m
↓
N 56.767778°
W 12.746887°		 ← 167.38 m →
28 014 m²		 N 56.767778°
W 12.744140°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 17 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 60895 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 40309 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.464595794677734 y=0.307537078857422 und der Vergrößerungsstufe zoom=17 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.464595794677734 × 217)
    floor (0.464595794677734 × 131072)
    floor (60895.5)     		tx = 60895
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.307537078857422 × 217)
    floor (0.307537078857422 × 131072)
    floor (40309.5)     		ty = 40309
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 17 / 60895 / 40309 ti = "17/60895/40309"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/17/60895/40309.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 60895 ÷ 217
    60895 ÷ 131072     		x = 0.464591979980469
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 40309 ÷ 217
    40309 ÷ 131072     		y = 0.307533264160156
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.464591979980469 × 2 - 1) × π
    -0.0708160400390625 × 3.1415926535     		Λ = -0.22247515
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.307533264160156 × 2 - 1) × π
    0.384933471679688 × 3.1415926535     		Φ = 1.20930416671516
    Länge (λ) Λ (unverändert) -0.22247515} λ = -0.22247515}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(1.20930416671516))-π/2
    2×atan(3.35115199797104)-π/2
    2×1.28080361696066-π/2
    2.56160723392133-1.57079632675     		φ = 0.99081091
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -0.22247515} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -12.746887°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 0.99081091 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 56.769283°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 60895 KachelY 40309 -0.22247515 0.99081091 -12.746887 56.769283
    Oben rechts KachelX + 1 60896 KachelY 40309 -0.22242721 0.99081091 -12.744140 56.769283
    Unten links KachelX 60895 KachelY + 1 40310 -0.22247515 0.99078464 -12.746887 56.767778
    Unten rechts KachelX + 1 60896 KachelY + 1 40310 -0.22242721 0.99078464 -12.744140 56.767778
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(0.99081091-0.99078464) × R
    2.62699999999949e-05 × 6371000     		dl = 167.366169999968m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(0.99081091-0.99078464) × R
    2.62699999999949e-05 × 6371000     		dr = 167.366169999968m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-0.22247515--0.22242721) × cos(0.99081091) × R
    4.79400000000241e-05 × 0.548011738427215 × 6371000     		do = 167.376890737903m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-0.22247515--0.22242721) × cos(0.99078464) × R
    4.79400000000241e-05 × 0.548033712321877 × 6371000     		du = 167.38360213094m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(0.99081091)-sin(0.99078464))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.548011738427215-0.548033712321877)×R²
    abs(-0.22242721--0.22247515)×2.19738946618531e-05×R²
    4.79400000000241e-05×2.19738946618531e-05×6371000²
    4.79400000000241e-05×2.19738946618531e-05×40589641000000     		ar = 28013.7907810037m²