Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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17 / 60892 / 41068
↖ ↑ ↗
← N 55.609384°
W 12.755127°		 ← 172.51 m → N 55.609384°
W 12.752380°		 →
↑
172.53 m
↓
↑
172.53 m
↓
N 55.607833°
W 12.755127°		 ← 172.52 m →
29 764 m²		 N 55.607833°
W 12.752380°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 17 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 60892 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 41068 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.464572906494141 y=0.313327789306641 und der Vergrößerungsstufe zoom=17 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.464572906494141 × 217)
    floor (0.464572906494141 × 131072)
    floor (60892.5)     		tx = 60892
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.313327789306641 × 217)
    floor (0.313327789306641 × 131072)
    floor (41068.5)     		ty = 41068
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 17 / 60892 / 41068 ti = "17/60892/41068"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/17/60892/41068.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 60892 ÷ 217
    60892 ÷ 131072     		x = 0.464569091796875
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 41068 ÷ 217
    41068 ÷ 131072     		y = 0.313323974609375
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.464569091796875 × 2 - 1) × π
    -0.07086181640625 × 3.1415926535     		Λ = -0.22261896
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.313323974609375 × 2 - 1) × π
    0.37335205078125 × 3.1415926535     		Φ = 1.17292005990353
    Länge (λ) Λ (unverändert) -0.22261896} λ = -0.22261896}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(1.17292005990353))-π/2
    2×atan(3.23141479998465)-π/2
    2×1.27068158705967-π/2
    2.54136317411934-1.57079632675     		φ = 0.97056685
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -0.22261896} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -12.755127°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 0.97056685 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 55.609384°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 60892 KachelY 41068 -0.22261896 0.97056685 -12.755127 55.609384
    Oben rechts KachelX + 1 60893 KachelY 41068 -0.22257102 0.97056685 -12.752380 55.609384
    Unten links KachelX 60892 KachelY + 1 41069 -0.22261896 0.97053977 -12.755127 55.607833
    Unten rechts KachelX + 1 60893 KachelY + 1 41069 -0.22257102 0.97053977 -12.752380 55.607833
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(0.97056685-0.97053977) × R
    2.70799999999571e-05 × 6371000     		dl = 172.526679999727m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(0.97056685-0.97053977) × R
    2.70799999999571e-05 × 6371000     		dr = 172.526679999727m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-0.22261896--0.22257102) × cos(0.97056685) × R
    4.79399999999963e-05 × 0.564831853898073 × 6371000     		do = 172.514186952378m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-0.22261896--0.22257102) × cos(0.97053977) × R
    4.79399999999963e-05 × 0.564854200270012 × 6371000     		du = 172.521012109563m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(0.97056685)-sin(0.97053977))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.564831853898073-0.564854200270012)×R²
    abs(-0.22257102--0.22261896)×2.23463719384309e-05×R²
    4.79399999999963e-05×2.23463719384309e-05×6371000²
    4.79399999999963e-05×2.23463719384309e-05×40589641000000     		ar = 29763.8886904782m²