Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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16 / 60891 / 13682
↖ ↑ ↗
← N 71.770505°
E154.484253°		 ← 191.07 m → N 71.770505°
E154.489746°		 →
↑
191.07 m
↓
↑
191.07 m
↓
N 71.768786°
E154.484253°		 ← 191.09 m →
36 509 m²		 N 71.768786°
E154.489746°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 16 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 60891 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 13682 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.929130554199219 y=0.208778381347656 und der Vergrößerungsstufe zoom=16 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.929130554199219 × 216)
    floor (0.929130554199219 × 65536)
    floor (60891.5)     		tx = 60891
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.208778381347656 × 216)
    floor (0.208778381347656 × 65536)
    floor (13682.5)     		ty = 13682
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 16 / 60891 / 13682 ti = "16/60891/13682"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/16/60891/13682.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 60891 ÷ 216
    60891 ÷ 65536     		x = 0.929122924804688
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 13682 ÷ 216
    13682 ÷ 65536     		y = 0.208770751953125
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.929122924804688 × 2 - 1) × π
    0.858245849609375 × 3.1415926535     		Λ = 2.69625886
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.208770751953125 × 2 - 1) × π
    0.58245849609375 × 3.1415926535     		Φ = 1.82984733229678
    Länge (λ) Λ (unverändert) 2.69625886} λ = 2.69625886}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(1.82984733229678))-π/2
    2×atan(6.23293501801068)-π/2
    2×1.41171396861196-π/2
    2.82342793722393-1.57079632675     		φ = 1.25263161
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 2.69625886} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 154.484253°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 1.25263161 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 71.770505°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 60891 KachelY 13682 2.69625886 1.25263161 154.484253 71.770505
    Oben rechts KachelX + 1 60892 KachelY 13682 2.69635473 1.25263161 154.489746 71.770505
    Unten links KachelX 60891 KachelY + 1 13683 2.69625886 1.25260162 154.484253 71.768786
    Unten rechts KachelX + 1 60892 KachelY + 1 13683 2.69635473 1.25260162 154.489746 71.768786
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(1.25263161-1.25260162) × R
    2.99899999998132e-05 × 6371000     		dl = 191.06628999881m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(1.25263161-1.25260162) × R
    2.99899999998132e-05 × 6371000     		dr = 191.06628999881m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(2.69625886-2.69635473) × cos(1.25263161) × R
    9.58699999999979e-05 × 0.312823916002074 × 6371000     		do = 191.06902205757m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(2.69625886-2.69635473) × cos(1.25260162) × R
    9.58699999999979e-05 × 0.312852400697417 × 6371000     		du = 191.086420161118m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(1.25263161)-sin(1.25260162))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.312823916002074-0.312852400697417)×R²
    abs(2.69635473-2.69625886)×2.84846953426676e-05×R²
    9.58699999999979e-05×2.84846953426676e-05×6371000²
    9.58699999999979e-05×2.84846953426676e-05×40589641000000     		ar = 36508.5112766075m²