Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

Tele ← 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 → Makro
17 / 60888 / 41080
↖ ↑ ↗
← N 55.590763°
W 12.766113°		 ← 172.60 m → N 55.590763°
W 12.763367°		 →
↑
172.53 m
↓
↑
172.53 m
↓
N 55.589212°
W 12.766113°		 ← 172.60 m →
29 778 m²		 N 55.589212°
W 12.763367°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 17 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 60888 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 41080 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.464542388916016 y=0.313419342041016 und der Vergrößerungsstufe zoom=17 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.464542388916016 × 217)
    floor (0.464542388916016 × 131072)
    floor (60888.5)     		tx = 60888
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.313419342041016 × 217)
    floor (0.313419342041016 × 131072)
    floor (41080.5)     		ty = 41080
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 17 / 60888 / 41080 ti = "17/60888/41080"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/17/60888/41080.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 60888 ÷ 217
    60888 ÷ 131072     		x = 0.46453857421875
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 41080 ÷ 217
    41080 ÷ 131072     		y = 0.31341552734375
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.46453857421875 × 2 - 1) × π
    -0.0709228515625 × 3.1415926535     		Λ = -0.22281071
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.31341552734375 × 2 - 1) × π
    0.3731689453125 × 3.1415926535     		Φ = 1.17234481710809
    Länge (λ) Λ (unverändert) -0.22281071} λ = -0.22281071}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(1.17234481710809))-π/2
    2×atan(3.22955648644386)-π/2
    2×1.27051909076966-π/2
    2.54103818153932-1.57079632675     		φ = 0.97024185
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -0.22281071} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -12.766113°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 0.97024185 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 55.590763°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 60888 KachelY 41080 -0.22281071 0.97024185 -12.766113 55.590763
    Oben rechts KachelX + 1 60889 KachelY 41080 -0.22276277 0.97024185 -12.763367 55.590763
    Unten links KachelX 60888 KachelY + 1 41081 -0.22281071 0.97021477 -12.766113 55.589212
    Unten rechts KachelX + 1 60889 KachelY + 1 41081 -0.22276277 0.97021477 -12.763367 55.589212
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(0.97024185-0.97021477) × R
    2.70799999999571e-05 × 6371000     		dl = 172.526679999727m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(0.97024185-0.97021477) × R
    2.70799999999571e-05 × 6371000     		dr = 172.526679999727m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-0.22281071--0.22276277) × cos(0.97024185) × R
    4.79399999999963e-05 × 0.565100016019942 × 6371000     		do = 172.596090566889m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-0.22281071--0.22276277) × cos(0.97021477) × R
    4.79399999999963e-05 × 0.565122357419516 × 6371000     		du = 172.602914205387m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(0.97024185)-sin(0.97021477))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.565100016019942-0.565122357419516)×R²
    abs(-0.22276277--0.22281071)×2.2341399574799e-05×R²
    4.79399999999963e-05×2.2341399574799e-05×6371000²
    4.79399999999963e-05×2.2341399574799e-05×40589641000000     		ar = 29778.0191182296m²