Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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17 / 60888 / 41074
↖ ↑ ↗
← N 55.600075°
W 12.766113°		 ← 172.56 m → N 55.600075°
W 12.763367°		 →
↑
172.53 m
↓
↑
172.53 m
↓
N 55.598523°
W 12.766113°		 ← 172.56 m →
29 771 m²		 N 55.598523°
W 12.763367°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 17 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 60888 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 41074 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.464542388916016 y=0.313373565673828 und der Vergrößerungsstufe zoom=17 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.464542388916016 × 217)
    floor (0.464542388916016 × 131072)
    floor (60888.5)     		tx = 60888
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.313373565673828 × 217)
    floor (0.313373565673828 × 131072)
    floor (41074.5)     		ty = 41074
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 17 / 60888 / 41074 ti = "17/60888/41074"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/17/60888/41074.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 60888 ÷ 217
    60888 ÷ 131072     		x = 0.46453857421875
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 41074 ÷ 217
    41074 ÷ 131072     		y = 0.313369750976562
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.46453857421875 × 2 - 1) × π
    -0.0709228515625 × 3.1415926535     		Λ = -0.22281071
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.313369750976562 × 2 - 1) × π
    0.373260498046875 × 3.1415926535     		Φ = 1.17263243850581
    Länge (λ) Λ (unverändert) -0.22281071} λ = -0.22281071}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(1.17263243850581))-π/2
    2×atan(3.23048550959157)-π/2
    2×1.27060034855559-π/2
    2.54120069711118-1.57079632675     		φ = 0.97040437
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -0.22281071} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -12.766113°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 0.97040437 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 55.600075°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 60888 KachelY 41074 -0.22281071 0.97040437 -12.766113 55.600075
    Oben rechts KachelX + 1 60889 KachelY 41074 -0.22276277 0.97040437 -12.763367 55.600075
    Unten links KachelX 60888 KachelY + 1 41075 -0.22281071 0.97037729 -12.766113 55.598523
    Unten rechts KachelX + 1 60889 KachelY + 1 41075 -0.22276277 0.97037729 -12.763367 55.598523
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(0.97040437-0.97037729) × R
    2.70800000000682e-05 × 6371000     		dl = 172.526680000434m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(0.97040437-0.97037729) × R
    2.70800000000682e-05 × 6371000     		dr = 172.526680000434m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-0.22281071--0.22276277) × cos(0.97040437) × R
    4.79399999999963e-05 × 0.564965925916039 × 6371000     		do = 172.555135997678m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-0.22281071--0.22276277) × cos(0.97037729) × R
    4.79399999999963e-05 × 0.564988269802396 × 6371000     		du = 172.561960395703m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(0.97040437)-sin(0.97037729))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.564965925916039-0.564988269802396)×R²
    abs(-0.22276277--0.22281071)×2.23438863576897e-05×R²
    4.79399999999963e-05×2.23438863576897e-05×6371000²
    4.79399999999963e-05×2.23438863576897e-05×40589641000000     		ar = 29770.9534277814m²