Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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17 / 60882 / 41103
↖ ↑ ↗
← N 55.555049°
W 12.782593°		 ← 172.75 m → N 55.555049°
W 12.779846°		 →
↑
172.72 m
↓
↑
172.72 m
↓
N 55.553496°
W 12.782593°		 ← 172.76 m →
29 838 m²		 N 55.553496°
W 12.779846°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 17 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 60882 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 41103 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.464496612548828 y=0.313594818115234 und der Vergrößerungsstufe zoom=17 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.464496612548828 × 217)
    floor (0.464496612548828 × 131072)
    floor (60882.5)     		tx = 60882
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.313594818115234 × 217)
    floor (0.313594818115234 × 131072)
    floor (41103.5)     		ty = 41103
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 17 / 60882 / 41103 ti = "17/60882/41103"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/17/60882/41103.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 60882 ÷ 217
    60882 ÷ 131072     		x = 0.464492797851562
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 41103 ÷ 217
    41103 ÷ 131072     		y = 0.313591003417969
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.464492797851562 × 2 - 1) × π
    -0.071014404296875 × 3.1415926535     		Λ = -0.22309833
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.313591003417969 × 2 - 1) × π
    0.372817993164062 × 3.1415926535     		Φ = 1.17124226841683
    Länge (λ) Λ (unverändert) -0.22309833} λ = -0.22309833}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(1.17124226841683))-π/2
    2×atan(3.22599770539158)-π/2
    2×1.27020742392158-π/2
    2.54041484784316-1.57079632675     		φ = 0.96961852
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -0.22309833} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -12.782593°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 0.96961852 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 55.555049°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 60882 KachelY 41103 -0.22309833 0.96961852 -12.782593 55.555049
    Oben rechts KachelX + 1 60883 KachelY 41103 -0.22305039 0.96961852 -12.779846 55.555049
    Unten links KachelX 60882 KachelY + 1 41104 -0.22309833 0.96959141 -12.782593 55.553496
    Unten rechts KachelX + 1 60883 KachelY + 1 41104 -0.22305039 0.96959141 -12.779846 55.553496
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(0.96961852-0.96959141) × R
    2.71099999999969e-05 × 6371000     		dl = 172.71780999998m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(0.96961852-0.96959141) × R
    2.71099999999969e-05 × 6371000     		dr = 172.71780999998m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-0.22309833--0.22305039) × cos(0.96961852) × R
    4.79400000000241e-05 × 0.565614167421477 × 6371000     		do = 172.753125639275m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-0.22309833--0.22305039) × cos(0.96959141) × R
    4.79400000000241e-05 × 0.565636524017402 × 6371000     		du = 172.75995391913m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(0.96961852)-sin(0.96959141))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.565614167421477-0.565636524017402)×R²
    abs(-0.22305039--0.22309833)×2.23565959250882e-05×R²
    4.79400000000241e-05×2.23565959250882e-05×6371000²
    4.79400000000241e-05×2.23565959250882e-05×40589641000000     		ar = 29838.1312156371m²