Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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17 / 60880 / 40251
↖ ↑ ↗
← N 56.856481°
W 12.788086°		 ← 166.95 m → N 56.856481°
W 12.785339°		 →
↑
166.98 m
↓
↑
166.98 m
↓
N 56.854980°
W 12.788086°		 ← 166.96 m →
27 879 m²		 N 56.854980°
W 12.785339°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 17 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 60880 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 40251 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.464481353759766 y=0.307094573974609 und der Vergrößerungsstufe zoom=17 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.464481353759766 × 217)
    floor (0.464481353759766 × 131072)
    floor (60880.5)     		tx = 60880
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.307094573974609 × 217)
    floor (0.307094573974609 × 131072)
    floor (40251.5)     		ty = 40251
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 17 / 60880 / 40251 ti = "17/60880/40251"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/17/60880/40251.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 60880 ÷ 217
    60880 ÷ 131072     		x = 0.4644775390625
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 40251 ÷ 217
    40251 ÷ 131072     		y = 0.307090759277344
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.4644775390625 × 2 - 1) × π
    -0.071044921875 × 3.1415926535     		Λ = -0.22319420
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.307090759277344 × 2 - 1) × π
    0.385818481445312 × 3.1415926535     		Φ = 1.21208450689312
    Länge (λ) Λ (unverändert) -0.22319420} λ = -0.22319420}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(1.21208450689312))-π/2
    2×atan(3.36048230521701)-π/2
    2×1.28156456100046-π/2
    2.56312912200093-1.57079632675     		φ = 0.99233280
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -0.22319420} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -12.788086°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 0.99233280 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 56.856481°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 60880 KachelY 40251 -0.22319420 0.99233280 -12.788086 56.856481
    Oben rechts KachelX + 1 60881 KachelY 40251 -0.22314627 0.99233280 -12.785339 56.856481
    Unten links KachelX 60880 KachelY + 1 40252 -0.22319420 0.99230659 -12.788086 56.854980
    Unten rechts KachelX + 1 60881 KachelY + 1 40252 -0.22314627 0.99230659 -12.785339 56.854980
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(0.99233280-0.99230659) × R
    2.62100000000265e-05 × 6371000     		dl = 166.983910000169m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(0.99233280-0.99230659) × R
    2.62100000000265e-05 × 6371000     		dr = 166.983910000169m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-0.22319420--0.22314627) × cos(0.99233280) × R
    4.79300000000016e-05 × 0.54673808797528 × 6371000     		do = 166.953052422456m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-0.22319420--0.22314627) × cos(0.99230659) × R
    4.79300000000016e-05 × 0.546760033517102 × 6371000     		du = 166.959753757656m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(0.99233280)-sin(0.99230659))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.54673808797528-0.546760033517102)×R²
    abs(-0.22314627--0.22319420)×2.19455418217773e-05×R²
    4.79300000000016e-05×2.19455418217773e-05×6371000²
    4.79300000000016e-05×2.19455418217773e-05×40589641000000     		ar = 27879.0329891571m²