Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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17 / 60879 / 40641
↖ ↑ ↗
← N 56.266236°
W 12.790832°		 ← 169.61 m → N 56.266236°
W 12.788086°		 →
↑
169.60 m
↓
↑
169.60 m
↓
N 56.264710°
W 12.790832°		 ← 169.62 m →
28 766 m²		 N 56.264710°
W 12.788086°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 17 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 60879 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 40641 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.464473724365234 y=0.310070037841797 und der Vergrößerungsstufe zoom=17 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.464473724365234 × 217)
    floor (0.464473724365234 × 131072)
    floor (60879.5)     		tx = 60879
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.310070037841797 × 217)
    floor (0.310070037841797 × 131072)
    floor (40641.5)     		ty = 40641
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 17 / 60879 / 40641 ti = "17/60879/40641"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/17/60879/40641.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 60879 ÷ 217
    60879 ÷ 131072     		x = 0.464469909667969
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 40641 ÷ 217
    40641 ÷ 131072     		y = 0.310066223144531
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.464469909667969 × 2 - 1) × π
    -0.0710601806640625 × 3.1415926535     		Λ = -0.22324214
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.310066223144531 × 2 - 1) × π
    0.379867553710938 × 3.1415926535     		Φ = 1.1933891160413
    Länge (λ) Λ (unverändert) -0.22324214} λ = -0.22324214}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(1.1933891160413))-π/2
    2×atan(3.29824040626076)-π/2
    2×1.27641369999572-π/2
    2.55282739999144-1.57079632675     		φ = 0.98203107
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -0.22324214} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -12.790832°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 0.98203107 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 56.266236°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 60879 KachelY 40641 -0.22324214 0.98203107 -12.790832 56.266236
    Oben rechts KachelX + 1 60880 KachelY 40641 -0.22319420 0.98203107 -12.788086 56.266236
    Unten links KachelX 60879 KachelY + 1 40642 -0.22324214 0.98200445 -12.790832 56.264710
    Unten rechts KachelX + 1 60880 KachelY + 1 40642 -0.22319420 0.98200445 -12.788086 56.264710
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(0.98203107-0.98200445) × R
    2.66199999999772e-05 × 6371000     		dl = 169.596019999855m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(0.98203107-0.98200445) × R
    2.66199999999772e-05 × 6371000     		dr = 169.596019999855m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-0.22324214--0.22319420) × cos(0.98203107) × R
    4.79399999999963e-05 × 0.555334600704736 × 6371000     		do = 169.613481367835m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-0.22324214--0.22319420) × cos(0.98200445) × R
    4.79399999999963e-05 × 0.555356738418937 × 6371000     		du = 169.620242795577m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(0.98203107)-sin(0.98200445))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.555334600704736-0.555356738418937)×R²
    abs(-0.22319420--0.22324214)×2.21377142016754e-05×R²
    4.79399999999963e-05×2.21377142016754e-05×6371000²
    4.79399999999963e-05×2.21377142016754e-05×40589641000000     		ar = 28766.3447355348m²