Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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17 / 60877 / 40709
↖ ↑ ↗
← N 56.162377°
W 12.796326°		 ← 170.07 m → N 56.162377°
W 12.793579°		 →
↑
170.04 m
↓
↑
170.04 m
↓
N 56.160848°
W 12.796326°		 ← 170.08 m →
28 920 m²		 N 56.160848°
W 12.793579°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 17 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 60877 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 40709 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.464458465576172 y=0.310588836669922 und der Vergrößerungsstufe zoom=17 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.464458465576172 × 217)
    floor (0.464458465576172 × 131072)
    floor (60877.5)     		tx = 60877
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.310588836669922 × 217)
    floor (0.310588836669922 × 131072)
    floor (40709.5)     		ty = 40709
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 17 / 60877 / 40709 ti = "17/60877/40709"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/17/60877/40709.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 60877 ÷ 217
    60877 ÷ 131072     		x = 0.464454650878906
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 40709 ÷ 217
    40709 ÷ 131072     		y = 0.310585021972656
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.464454650878906 × 2 - 1) × π
    -0.0710906982421875 × 3.1415926535     		Λ = -0.22333802
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.310585021972656 × 2 - 1) × π
    0.378829956054688 × 3.1415926535     		Φ = 1.19012940686713
    Länge (λ) Λ (unverändert) -0.22333802} λ = -0.22333802}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(1.19012940686713))-π/2
    2×atan(3.28750660578833)-π/2
    2×1.27550735791988-π/2
    2.55101471583975-1.57079632675     		φ = 0.98021839
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -0.22333802} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -12.796326°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 0.98021839 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 56.162377°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 60877 KachelY 40709 -0.22333802 0.98021839 -12.796326 56.162377
    Oben rechts KachelX + 1 60878 KachelY 40709 -0.22329008 0.98021839 -12.793579 56.162377
    Unten links KachelX 60877 KachelY + 1 40710 -0.22333802 0.98019170 -12.796326 56.160848
    Unten rechts KachelX + 1 60878 KachelY + 1 40710 -0.22329008 0.98019170 -12.793579 56.160848
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(0.98021839-0.98019170) × R
    2.66899999999959e-05 × 6371000     		dl = 170.041989999974m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(0.98021839-0.98019170) × R
    2.66899999999959e-05 × 6371000     		dr = 170.041989999974m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-0.22333802--0.22329008) × cos(0.98021839) × R
    4.79399999999963e-05 × 0.556841161163547 × 6371000     		do = 170.073623710823m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-0.22333802--0.22329008) × cos(0.98019170) × R
    4.79399999999963e-05 × 0.556863330186289 × 6371000     		du = 170.080394700999m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(0.98021839)-sin(0.98019170))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.556841161163547-0.556863330186289)×R²
    abs(-0.22329008--0.22333802)×2.21690227417692e-05×R²
    4.79399999999963e-05×2.21690227417692e-05×6371000²
    4.79399999999963e-05×2.21690227417692e-05×40589641000000     		ar = 28920.2331004379m²