Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

Tele ← 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 → Makro
17 / 60873 / 83481
↖ ↑ ↗
← S 44.136885°
W 12.807312°		 ← 219.15 m → S 44.136885°
W 12.804566°		 →
↑
219.16 m
↓
↑
219.16 m
↓
S 44.138856°
W 12.807312°		 ← 219.14 m →
48 029 m²		 S 44.138856°
W 12.804566°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 17 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 60873 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 83481 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.464427947998047 y=0.636913299560547 und der Vergrößerungsstufe zoom=17 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.464427947998047 × 217)
    floor (0.464427947998047 × 131072)
    floor (60873.5)     		tx = 60873
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.636913299560547 × 217)
    floor (0.636913299560547 × 131072)
    floor (83481.5)     		ty = 83481
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 17 / 60873 / 83481 ti = "17/60873/83481"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/17/60873/83481.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 60873 ÷ 217
    60873 ÷ 131072     		x = 0.464424133300781
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 83481 ÷ 217
    83481 ÷ 131072     		y = 0.636909484863281
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.464424133300781 × 2 - 1) × π
    -0.0711517333984375 × 3.1415926535     		Λ = -0.22352976
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.636909484863281 × 2 - 1) × π
    -0.273818969726562 × 3.1415926535     		Φ = -0.860227663681908
    Länge (λ) Λ (unverändert) -0.22352976} λ = -0.22352976}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-0.860227663681908))-π/2
    2×atan(0.423065754645617)-π/2
    2×0.400231184148377-π/2
    0.800462368296754-1.57079632675     		φ = -0.77033396
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -0.22352976} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -12.807312°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -0.77033396 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -44.136885°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 60873 KachelY 83481 -0.22352976 -0.77033396 -12.807312 -44.136885
    Oben rechts KachelX + 1 60874 KachelY 83481 -0.22348183 -0.77033396 -12.804566 -44.136885
    Unten links KachelX 60873 KachelY + 1 83482 -0.22352976 -0.77036836 -12.807312 -44.138856
    Unten rechts KachelX + 1 60874 KachelY + 1 83482 -0.22348183 -0.77036836 -12.804566 -44.138856
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-0.77033396--0.77036836) × R
    3.439999999999e-05 × 6371000     		dl = 219.162399999936m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-0.77033396--0.77036836) × R
    3.439999999999e-05 × 6371000     		dr = 219.162399999936m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-0.22352976--0.22348183) × cos(-0.77033396) × R
    4.79300000000016e-05 × 0.717678148256943 × 6371000     		do = 219.151656238388m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-0.22352976--0.22348183) × cos(-0.77036836) × R
    4.79300000000016e-05 × 0.71765419253392 × 6371000     		du = 219.144341070176m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-0.77033396)-sin(-0.77036836))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.717678148256943-0.71765419253392)×R²
    abs(-0.22348183--0.22352976)×2.39557230228282e-05×R²
    4.79300000000016e-05×2.39557230228282e-05×6371000²
    4.79300000000016e-05×2.39557230228282e-05×40589641000000     		ar = 48029.0013450715m²