Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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17 / 60872 / 40312
↖ ↑ ↗
← N 56.764767°
W 12.810059°		 ← 167.40 m → N 56.764767°
W 12.807312°		 →
↑
167.37 m
↓
↑
167.37 m
↓
N 56.763262°
W 12.810059°		 ← 167.40 m →
28 017 m²		 N 56.763262°
W 12.807312°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 17 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 60872 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 40312 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.464420318603516 y=0.307559967041016 und der Vergrößerungsstufe zoom=17 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.464420318603516 × 217)
    floor (0.464420318603516 × 131072)
    floor (60872.5)     		tx = 60872
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.307559967041016 × 217)
    floor (0.307559967041016 × 131072)
    floor (40312.5)     		ty = 40312
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 17 / 60872 / 40312 ti = "17/60872/40312"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/17/60872/40312.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 60872 ÷ 217
    60872 ÷ 131072     		x = 0.46441650390625
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 40312 ÷ 217
    40312 ÷ 131072     		y = 0.30755615234375
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.46441650390625 × 2 - 1) × π
    -0.0711669921875 × 3.1415926535     		Λ = -0.22357770
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.30755615234375 × 2 - 1) × π
    0.3848876953125 × 3.1415926535     		Φ = 1.2091603560163
    Länge (λ) Λ (unverändert) -0.22357770} λ = -0.22357770}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(1.2091603560163))-π/2
    2×atan(3.35067010111201)-π/2
    2×1.28076420961481-π/2
    2.56152841922963-1.57079632675     		φ = 0.99073209
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -0.22357770} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -12.810059°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 0.99073209 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 56.764767°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 60872 KachelY 40312 -0.22357770 0.99073209 -12.810059 56.764767
    Oben rechts KachelX + 1 60873 KachelY 40312 -0.22352976 0.99073209 -12.807312 56.764767
    Unten links KachelX 60872 KachelY + 1 40313 -0.22357770 0.99070582 -12.810059 56.763262
    Unten rechts KachelX + 1 60873 KachelY + 1 40313 -0.22352976 0.99070582 -12.807312 56.763262
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(0.99073209-0.99070582) × R
    2.62699999999949e-05 × 6371000     		dl = 167.366169999968m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(0.99073209-0.99070582) × R
    2.62699999999949e-05 × 6371000     		dr = 167.366169999968m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-0.22357770--0.22352976) × cos(0.99073209) × R
    4.79399999999963e-05 × 0.548077667340844 × 6371000     		do = 167.397027125038m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-0.22357770--0.22352976) × cos(0.99070582) × R
    4.79399999999963e-05 × 0.548099640100701 × 6371000     		du = 167.403738171477m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(0.99073209)-sin(0.99070582))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.548077667340844-0.548099640100701)×R²
    abs(-0.22352976--0.22357770)×2.19727598569364e-05×R²
    4.79399999999963e-05×2.19727598569364e-05×6371000²
    4.79399999999963e-05×2.19727598569364e-05×40589641000000     		ar = 28017.1609018711m²