Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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17 / 60871 / 40340
↖ ↑ ↗
← N 56.722594°
W 12.812805°		 ← 167.59 m → N 56.722594°
W 12.810059°		 →
↑
167.56 m
↓
↑
167.56 m
↓
N 56.721087°
W 12.812805°		 ← 167.59 m →
28 081 m²		 N 56.721087°
W 12.810059°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 17 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 60871 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 40340 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.464412689208984 y=0.307773590087891 und der Vergrößerungsstufe zoom=17 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.464412689208984 × 217)
    floor (0.464412689208984 × 131072)
    floor (60871.5)     		tx = 60871
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.307773590087891 × 217)
    floor (0.307773590087891 × 131072)
    floor (40340.5)     		ty = 40340
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 17 / 60871 / 40340 ti = "17/60871/40340"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/17/60871/40340.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 60871 ÷ 217
    60871 ÷ 131072     		x = 0.464408874511719
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 40340 ÷ 217
    40340 ÷ 131072     		y = 0.307769775390625
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.464408874511719 × 2 - 1) × π
    -0.0711822509765625 × 3.1415926535     		Λ = -0.22362564
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.307769775390625 × 2 - 1) × π
    0.38446044921875 × 3.1415926535     		Φ = 1.20781812282693
    Länge (λ) Λ (unverändert) -0.22362564} λ = -0.22362564}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(1.20781812282693))-π/2
    2×atan(3.34617573741251)-π/2
    2×1.28039617907993-π/2
    2.56079235815986-1.57079632675     		φ = 0.98999603
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -0.22362564} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -12.812805°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 0.98999603 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 56.722594°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 60871 KachelY 40340 -0.22362564 0.98999603 -12.812805 56.722594
    Oben rechts KachelX + 1 60872 KachelY 40340 -0.22357770 0.98999603 -12.810059 56.722594
    Unten links KachelX 60871 KachelY + 1 40341 -0.22362564 0.98996973 -12.812805 56.721087
    Unten rechts KachelX + 1 60872 KachelY + 1 40341 -0.22357770 0.98996973 -12.810059 56.721087
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(0.98999603-0.98996973) × R
    2.63000000000346e-05 × 6371000     		dl = 167.557300000221m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(0.98999603-0.98996973) × R
    2.63000000000346e-05 × 6371000     		dr = 167.557300000221m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-0.22362564--0.22357770) × cos(0.98999603) × R
    4.79399999999963e-05 × 0.548693179600399 × 6371000     		do = 167.585020412392m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-0.22362564--0.22357770) × cos(0.98996973) × R
    4.79399999999963e-05 × 0.548715166836581 × 6371000     		du = 167.591735880273m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(0.98999603)-sin(0.98996973))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.548693179600399-0.548715166836581)×R²
    abs(-0.22357770--0.22362564)×2.19872361825191e-05×R²
    4.79399999999963e-05×2.19872361825191e-05×6371000²
    4.79399999999963e-05×2.19872361825191e-05×40589641000000     		ar = 28080.6561552454m²