Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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17 / 60871 / 40281
↖ ↑ ↗
← N 56.811404°
W 12.812805°		 ← 167.19 m → N 56.811404°
W 12.810059°		 →
↑
167.18 m
↓
↑
167.18 m
↓
N 56.809900°
W 12.812805°		 ← 167.20 m →
27 950 m²		 N 56.809900°
W 12.810059°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 17 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 60871 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 40281 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.464412689208984 y=0.307323455810547 und der Vergrößerungsstufe zoom=17 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.464412689208984 × 217)
    floor (0.464412689208984 × 131072)
    floor (60871.5)     		tx = 60871
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.307323455810547 × 217)
    floor (0.307323455810547 × 131072)
    floor (40281.5)     		ty = 40281
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 17 / 60871 / 40281 ti = "17/60871/40281"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/17/60871/40281.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 60871 ÷ 217
    60871 ÷ 131072     		x = 0.464408874511719
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 40281 ÷ 217
    40281 ÷ 131072     		y = 0.307319641113281
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.464408874511719 × 2 - 1) × π
    -0.0711822509765625 × 3.1415926535     		Λ = -0.22362564
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.307319641113281 × 2 - 1) × π
    0.385360717773438 × 3.1415926535     		Φ = 1.21064639990452
    Länge (λ) Λ (unverändert) -0.22362564} λ = -0.22362564}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(1.21064639990452))-π/2
    2×atan(3.35565304545722)-π/2
    2×1.28117119031786-π/2
    2.56234238063572-1.57079632675     		φ = 0.99154605
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -0.22362564} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -12.812805°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 0.99154605 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 56.811404°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 60871 KachelY 40281 -0.22362564 0.99154605 -12.812805 56.811404
    Oben rechts KachelX + 1 60872 KachelY 40281 -0.22357770 0.99154605 -12.810059 56.811404
    Unten links KachelX 60871 KachelY + 1 40282 -0.22362564 0.99151981 -12.812805 56.809900
    Unten rechts KachelX + 1 60872 KachelY + 1 40282 -0.22357770 0.99151981 -12.810059 56.809900
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(0.99154605-0.99151981) × R
    2.62399999999552e-05 × 6371000     		dl = 167.175039999714m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(0.99154605-0.99151981) × R
    2.62399999999552e-05 × 6371000     		dr = 167.175039999714m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-0.22362564--0.22357770) × cos(0.99154605) × R
    4.79399999999963e-05 × 0.5473966673738 × 6371000     		do = 167.189032206164m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-0.22362564--0.22357770) × cos(0.99151981) × R
    4.79399999999963e-05 × 0.547418626740241 × 6371000     		du = 167.195739161909m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(0.99154605)-sin(0.99151981))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.5473966673738-0.547418626740241)×R²
    abs(-0.22357770--0.22362564)×2.19593664408935e-05×R²
    4.79399999999963e-05×2.19593664408935e-05×6371000²
    4.79399999999963e-05×2.19593664408935e-05×40589641000000     		ar = 27950.3937659265m²