Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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17 / 60871 / 32889
↖ ↑ ↗
← N 66.380459°
W 12.812805°		 ← 122.37 m → N 66.380459°
W 12.810059°		 →
↑
122.32 m
↓
↑
122.32 m
↓
N 66.379359°
W 12.812805°		 ← 122.38 m →
14 969 m²		 N 66.379359°
W 12.810059°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 17 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 60871 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 32889 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.464412689208984 y=0.250926971435547 und der Vergrößerungsstufe zoom=17 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.464412689208984 × 217)
    floor (0.464412689208984 × 131072)
    floor (60871.5)     		tx = 60871
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.250926971435547 × 217)
    floor (0.250926971435547 × 131072)
    floor (32889.5)     		ty = 32889
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 17 / 60871 / 32889 ti = "17/60871/32889"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/17/60871/32889.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 60871 ÷ 217
    60871 ÷ 131072     		x = 0.464408874511719
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 32889 ÷ 217
    32889 ÷ 131072     		y = 0.250923156738281
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.464408874511719 × 2 - 1) × π
    -0.0711822509765625 × 3.1415926535     		Λ = -0.22362564
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.250923156738281 × 2 - 1) × π
    0.498153686523438 × 3.1415926535     		Φ = 1.56499596189597
    Länge (λ) Λ (unverändert) -0.22362564} λ = -0.22362564}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(1.56499596189597))-π/2
    2×atan(4.78265562299535)-π/2
    2×1.36467695058046-π/2
    2.72935390116092-1.57079632675     		φ = 1.15855757
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -0.22362564} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -12.812805°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 1.15855757 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 66.380459°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 60871 KachelY 32889 -0.22362564 1.15855757 -12.812805 66.380459
    Oben rechts KachelX + 1 60872 KachelY 32889 -0.22357770 1.15855757 -12.810059 66.380459
    Unten links KachelX 60871 KachelY + 1 32890 -0.22362564 1.15853837 -12.812805 66.379359
    Unten rechts KachelX + 1 60872 KachelY + 1 32890 -0.22357770 1.15853837 -12.810059 66.379359
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(1.15855757-1.15853837) × R
    1.9199999999886e-05 × 6371000     		dl = 122.323199999274m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(1.15855757-1.15853837) × R
    1.9199999999886e-05 × 6371000     		dr = 122.323199999274m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-0.22362564--0.22357770) × cos(1.15855757) × R
    4.79399999999963e-05 × 0.400661537822185 × 6371000     		do = 122.37234667887m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-0.22362564--0.22357770) × cos(1.15853837) × R
    4.79399999999963e-05 × 0.400679129290144 × 6371000     		du = 122.377719565988m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(1.15855757)-sin(1.15853837))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.400661537822185-0.400679129290144)×R²
    abs(-0.22357770--0.22362564)×1.75914679582112e-05×R²
    4.79399999999963e-05×1.75914679582112e-05×6371000²
    4.79399999999963e-05×1.75914679582112e-05×40589641000000     		ar = 14969.3056520228m²