Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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17 / 60871 / 32453
↖ ↑ ↗
← N 66.855685°
W 12.812805°		 ← 120.05 m → N 66.855685°
W 12.810059°		 →
↑
120.03 m
↓
↑
120.03 m
↓
N 66.854606°
W 12.812805°		 ← 120.05 m →
14 410 m²		 N 66.854606°
W 12.810059°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 17 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 60871 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 32453 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.464412689208984 y=0.247600555419922 und der Vergrößerungsstufe zoom=17 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.464412689208984 × 217)
    floor (0.464412689208984 × 131072)
    floor (60871.5)     		tx = 60871
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.247600555419922 × 217)
    floor (0.247600555419922 × 131072)
    floor (32453.5)     		ty = 32453
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 17 / 60871 / 32453 ti = "17/60871/32453"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/17/60871/32453.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 60871 ÷ 217
    60871 ÷ 131072     		x = 0.464408874511719
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 32453 ÷ 217
    32453 ÷ 131072     		y = 0.247596740722656
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.464408874511719 × 2 - 1) × π
    -0.0711822509765625 × 3.1415926535     		Λ = -0.22362564
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.247596740722656 × 2 - 1) × π
    0.504806518554688 × 3.1415926535     		Φ = 1.58589645013032
    Länge (λ) Λ (unverändert) -0.22362564} λ = -0.22362564}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(1.58589645013032))-π/2
    2×atan(4.88366738104582)-π/2
    2×1.36882407858222-π/2
    2.73764815716444-1.57079632675     		φ = 1.16685183
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -0.22362564} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -12.812805°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 1.16685183 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 66.855685°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 60871 KachelY 32453 -0.22362564 1.16685183 -12.812805 66.855685
    Oben rechts KachelX + 1 60872 KachelY 32453 -0.22357770 1.16685183 -12.810059 66.855685
    Unten links KachelX 60871 KachelY + 1 32454 -0.22362564 1.16683299 -12.812805 66.854606
    Unten rechts KachelX + 1 60872 KachelY + 1 32454 -0.22357770 1.16683299 -12.810059 66.854606
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(1.16685183-1.16683299) × R
    1.88399999998534e-05 × 6371000     		dl = 120.029639999066m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(1.16685183-1.16683299) × R
    1.88399999998534e-05 × 6371000     		dr = 120.029639999066m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-0.22362564--0.22357770) × cos(1.16685183) × R
    4.79399999999963e-05 × 0.393048425539314 × 6371000     		do = 120.047106226171m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-0.22362564--0.22357770) × cos(1.16683299) × R
    4.79399999999963e-05 × 0.393065749184404 × 6371000     		du = 120.052397313292m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(1.16685183)-sin(1.16683299))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.393048425539314-0.393065749184404)×R²
    abs(-0.22357770--0.22362564)×1.7323645089995e-05×R²
    4.79399999999963e-05×1.7323645089995e-05×6371000²
    4.79399999999963e-05×1.7323645089995e-05×40589641000000     		ar = 14409.5284872101m²