Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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17 / 60870 / 40341
↖ ↑ ↗
← N 56.721087°
W 12.815552°		 ← 167.56 m → N 56.721087°
W 12.812805°		 →
↑
167.62 m
↓
↑
167.62 m
↓
N 56.719580°
W 12.815552°		 ← 167.56 m →
28 087 m²		 N 56.719580°
W 12.812805°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 17 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 60870 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 40341 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.464405059814453 y=0.307781219482422 und der Vergrößerungsstufe zoom=17 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.464405059814453 × 217)
    floor (0.464405059814453 × 131072)
    floor (60870.5)     		tx = 60870
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.307781219482422 × 217)
    floor (0.307781219482422 × 131072)
    floor (40341.5)     		ty = 40341
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 17 / 60870 / 40341 ti = "17/60870/40341"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/17/60870/40341.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 60870 ÷ 217
    60870 ÷ 131072     		x = 0.464401245117188
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 40341 ÷ 217
    40341 ÷ 131072     		y = 0.307777404785156
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.464401245117188 × 2 - 1) × π
    -0.071197509765625 × 3.1415926535     		Λ = -0.22367357
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.307777404785156 × 2 - 1) × π
    0.384445190429688 × 3.1415926535     		Φ = 1.20777018592731
    Länge (λ) Λ (unverändert) -0.22367357} λ = -0.22367357}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(1.20777018592731))-π/2
    2×atan(3.34601533596668)-π/2
    2×1.28038302749149-π/2
    2.56076605498298-1.57079632675     		φ = 0.98996973
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -0.22367357} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -12.815552°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 0.98996973 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 56.721087°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 60870 KachelY 40341 -0.22367357 0.98996973 -12.815552 56.721087
    Oben rechts KachelX + 1 60871 KachelY 40341 -0.22362564 0.98996973 -12.812805 56.721087
    Unten links KachelX 60870 KachelY + 1 40342 -0.22367357 0.98994342 -12.815552 56.719580
    Unten rechts KachelX + 1 60871 KachelY + 1 40342 -0.22362564 0.98994342 -12.812805 56.719580
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(0.98996973-0.98994342) × R
    2.63099999999739e-05 × 6371000     		dl = 167.621009999833m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(0.98996973-0.98994342) × R
    2.63099999999739e-05 × 6371000     		dr = 167.621009999833m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-0.22367357--0.22362564) × cos(0.98996973) × R
    4.79300000000016e-05 × 0.548715166836581 × 6371000     		do = 167.556777237013m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-0.22367357--0.22362564) × cos(0.98994342) × R
    4.79300000000016e-05 × 0.548737162053172 × 6371000     		du = 167.563493741001m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(0.98996973)-sin(0.98994342))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.548715166836581-0.548737162053172)×R²
    abs(-0.22362564--0.22367357)×2.19952165909643e-05×R²
    4.79300000000016e-05×2.19952165909643e-05×6371000²
    4.79300000000016e-05×2.19952165909643e-05×40589641000000     		ar = 28086.5991480474m²