Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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17 / 60868 / 83452
↖ ↑ ↗
← S 44.079693°
W 12.821045°		 ← 219.41 m → S 44.079693°
W 12.818298°		 →
↑
219.42 m
↓
↑
219.42 m
↓
S 44.081666°
W 12.821045°		 ← 219.40 m →
48 141 m²		 S 44.081666°
W 12.818298°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 17 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 60868 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 83452 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.464389801025391 y=0.636692047119141 und der Vergrößerungsstufe zoom=17 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.464389801025391 × 217)
    floor (0.464389801025391 × 131072)
    floor (60868.5)     		tx = 60868
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.636692047119141 × 217)
    floor (0.636692047119141 × 131072)
    floor (83452.5)     		ty = 83452
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 17 / 60868 / 83452 ti = "17/60868/83452"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/17/60868/83452.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 60868 ÷ 217
    60868 ÷ 131072     		x = 0.464385986328125
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 83452 ÷ 217
    83452 ÷ 131072     		y = 0.636688232421875
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.464385986328125 × 2 - 1) × π
    -0.07122802734375 × 3.1415926535     		Λ = -0.22376945
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.636688232421875 × 2 - 1) × π
    -0.27337646484375 × 3.1415926535     		Φ = -0.858837493592926
    Länge (λ) Λ (unverändert) -0.22376945} λ = -0.22376945}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-0.858837493592926))-π/2
    2×atan(0.4236542969956)-π/2
    2×0.400730272953772-π/2
    0.801460545907544-1.57079632675     		φ = -0.76933578
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -0.22376945} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -12.821045°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -0.76933578 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -44.079693°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 60868 KachelY 83452 -0.22376945 -0.76933578 -12.821045 -44.079693
    Oben rechts KachelX + 1 60869 KachelY 83452 -0.22372151 -0.76933578 -12.818298 -44.079693
    Unten links KachelX 60868 KachelY + 1 83453 -0.22376945 -0.76937022 -12.821045 -44.081666
    Unten rechts KachelX + 1 60869 KachelY + 1 83453 -0.22372151 -0.76937022 -12.818298 -44.081666
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-0.76933578--0.76937022) × R
    3.44399999999689e-05 × 6371000     		dl = 219.417239999802m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-0.76933578--0.76937022) × R
    3.44399999999689e-05 × 6371000     		dr = 219.417239999802m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-0.22376945--0.22372151) × cos(-0.76933578) × R
    4.79399999999963e-05 × 0.718372898158289 × 6371000     		do = 219.409574015923m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-0.22376945--0.22372151) × cos(-0.76937022) × R
    4.79399999999963e-05 × 0.718348939262663 × 6371000     		du = 219.402256352497m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-0.76933578)-sin(-0.76937022))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.718372898158289-0.718348939262663)×R²
    abs(-0.22372151--0.22376945)×2.39588956264525e-05×R²
    4.79399999999963e-05×2.39588956264525e-05×6371000²
    4.79399999999963e-05×2.39588956264525e-05×40589641000000     		ar = 48141.4403541849m²