Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

Tele ← 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 → Makro
17 / 60868 / 33727
↖ ↑ ↗
← N 65.441143°
W 12.821045°		 ← 126.94 m → N 65.441143°
W 12.818298°		 →
↑
126.97 m
↓
↑
126.97 m
↓
N 65.440002°
W 12.821045°		 ← 126.95 m →
16 119 m²		 N 65.440002°
W 12.818298°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 17 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 60868 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 33727 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.464389801025391 y=0.257320404052734 und der Vergrößerungsstufe zoom=17 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.464389801025391 × 217)
    floor (0.464389801025391 × 131072)
    floor (60868.5)     		tx = 60868
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.257320404052734 × 217)
    floor (0.257320404052734 × 131072)
    floor (33727.5)     		ty = 33727
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 17 / 60868 / 33727 ti = "17/60868/33727"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/17/60868/33727.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 60868 ÷ 217
    60868 ÷ 131072     		x = 0.464385986328125
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 33727 ÷ 217
    33727 ÷ 131072     		y = 0.257316589355469
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.464385986328125 × 2 - 1) × π
    -0.07122802734375 × 3.1415926535     		Λ = -0.22376945
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.257316589355469 × 2 - 1) × π
    0.485366821289062 × 3.1415926535     		Φ = 1.52482484001437
    Länge (λ) Λ (unverändert) -0.22376945} λ = -0.22376945}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(1.52482484001437))-π/2
    2×atan(4.59433875451283)-π/2
    2×1.35647987129483-π/2
    2.71295974258966-1.57079632675     		φ = 1.14216342
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -0.22376945} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -12.821045°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 1.14216342 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 65.441143°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 60868 KachelY 33727 -0.22376945 1.14216342 -12.821045 65.441143
    Oben rechts KachelX + 1 60869 KachelY 33727 -0.22372151 1.14216342 -12.818298 65.441143
    Unten links KachelX 60868 KachelY + 1 33728 -0.22376945 1.14214349 -12.821045 65.440002
    Unten rechts KachelX + 1 60869 KachelY + 1 33728 -0.22372151 1.14214349 -12.818298 65.440002
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(1.14216342-1.14214349) × R
    1.99299999998903e-05 × 6371000     		dl = 126.974029999301m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(1.14216342-1.14214349) × R
    1.99299999998903e-05 × 6371000     		dr = 126.974029999301m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-0.22376945--0.22372151) × cos(1.14216342) × R
    4.79399999999963e-05 × 0.415627772362233 × 6371000     		do = 126.943419938277m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-0.22376945--0.22372151) × cos(1.14214349) × R
    4.79399999999963e-05 × 0.415645899308277 × 6371000     		du = 126.948956374186m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(1.14216342)-sin(1.14214349))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.415627772362233-0.415645899308277)×R²
    abs(-0.22372151--0.22376945)×1.81269460446387e-05×R²
    4.79399999999963e-05×1.81269460446387e-05×6371000²
    4.79399999999963e-05×1.81269460446387e-05×40589641000000     		ar = 16118.8691036146m²