Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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17 / 60867 / 33726
↖ ↑ ↗
← N 65.442285°
W 12.823791°		 ← 126.91 m → N 65.442285°
W 12.821045°		 →
↑
126.91 m
↓
↑
126.91 m
↓
N 65.441143°
W 12.823791°		 ← 126.92 m →
16 107 m²		 N 65.441143°
W 12.821045°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 17 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 60867 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 33726 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.464382171630859 y=0.257312774658203 und der Vergrößerungsstufe zoom=17 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.464382171630859 × 217)
    floor (0.464382171630859 × 131072)
    floor (60867.5)     		tx = 60867
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.257312774658203 × 217)
    floor (0.257312774658203 × 131072)
    floor (33726.5)     		ty = 33726
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 17 / 60867 / 33726 ti = "17/60867/33726"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/17/60867/33726.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 60867 ÷ 217
    60867 ÷ 131072     		x = 0.464378356933594
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 33726 ÷ 217
    33726 ÷ 131072     		y = 0.257308959960938
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.464378356933594 × 2 - 1) × π
    -0.0712432861328125 × 3.1415926535     		Λ = -0.22381738
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.257308959960938 × 2 - 1) × π
    0.485382080078125 × 3.1415926535     		Φ = 1.52487277691399
    Länge (λ) Λ (unverändert) -0.22381738} λ = -0.22381738}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(1.52487277691399))-π/2
    2×atan(4.59455899814739)-π/2
    2×1.35648983303115-π/2
    2.7129796660623-1.57079632675     		φ = 1.14218334
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -0.22381738} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -12.823791°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 1.14218334 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 65.442285°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 60867 KachelY 33726 -0.22381738 1.14218334 -12.823791 65.442285
    Oben rechts KachelX + 1 60868 KachelY 33726 -0.22376945 1.14218334 -12.821045 65.442285
    Unten links KachelX 60867 KachelY + 1 33727 -0.22381738 1.14216342 -12.823791 65.441143
    Unten rechts KachelX + 1 60868 KachelY + 1 33727 -0.22376945 1.14216342 -12.821045 65.441143
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(1.14218334-1.14216342) × R
    1.99200000001731e-05 × 6371000     		dl = 126.910320001103m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(1.14218334-1.14216342) × R
    1.99200000001731e-05 × 6371000     		dr = 126.910320001103m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-0.22381738--0.22376945) × cos(1.14218334) × R
    4.79300000000016e-05 × 0.415609654346529 × 6371000     		do = 126.911407738859m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-0.22381738--0.22376945) × cos(1.14216342) × R
    4.79300000000016e-05 × 0.415627772362233 × 6371000     		du = 126.916940292914m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(1.14218334)-sin(1.14216342))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.415609654346529-0.415627772362233)×R²
    abs(-0.22376945--0.22381738)×1.811801570345e-05×R²
    4.79300000000016e-05×1.811801570345e-05×6371000²
    4.79300000000016e-05×1.811801570345e-05×40589641000000     		ar = 16106.7184376639m²