Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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17 / 60866 / 83498
↖ ↑ ↗
← S 44.170385°
W 12.826538°		 ← 219.07 m → S 44.170385°
W 12.823791°		 →
↑
219.03 m
↓
↑
219.03 m
↓
S 44.172355°
W 12.826538°		 ← 219.07 m →
47 984 m²		 S 44.172355°
W 12.823791°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 17 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 60866 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 83498 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.464374542236328 y=0.637042999267578 und der Vergrößerungsstufe zoom=17 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.464374542236328 × 217)
    floor (0.464374542236328 × 131072)
    floor (60866.5)     		tx = 60866
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.637042999267578 × 217)
    floor (0.637042999267578 × 131072)
    floor (83498.5)     		ty = 83498
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 17 / 60866 / 83498 ti = "17/60866/83498"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/17/60866/83498.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 60866 ÷ 217
    60866 ÷ 131072     		x = 0.464370727539062
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 83498 ÷ 217
    83498 ÷ 131072     		y = 0.637039184570312
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.464370727539062 × 2 - 1) × π
    -0.071258544921875 × 3.1415926535     		Λ = -0.22386532
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.637039184570312 × 2 - 1) × π
    -0.274078369140625 × 3.1415926535     		Φ = -0.861042590975449
    Länge (λ) Λ (unverändert) -0.22386532} λ = -0.22386532}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-0.861042590975449))-π/2
    2×atan(0.422721127257399)-π/2
    2×0.399938839369058-π/2
    0.799877678738117-1.57079632675     		φ = -0.77091865
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -0.22386532} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -12.826538°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -0.77091865 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -44.170385°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 60866 KachelY 83498 -0.22386532 -0.77091865 -12.826538 -44.170385
    Oben rechts KachelX + 1 60867 KachelY 83498 -0.22381738 -0.77091865 -12.823791 -44.170385
    Unten links KachelX 60866 KachelY + 1 83499 -0.22386532 -0.77095303 -12.826538 -44.172355
    Unten rechts KachelX + 1 60867 KachelY + 1 83499 -0.22381738 -0.77095303 -12.823791 -44.172355
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-0.77091865--0.77095303) × R
    3.43800000000005e-05 × 6371000     		dl = 219.034980000003m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-0.77091865--0.77095303) × R
    3.43800000000005e-05 × 6371000     		dr = 219.034980000003m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-0.22386532--0.22381738) × cos(-0.77091865) × R
    4.79399999999963e-05 × 0.717270862135143 × 6371000     		do = 219.072983848047m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-0.22386532--0.22381738) × cos(-0.77095303) × R
    4.79399999999963e-05 × 0.717246905917938 × 6371000     		du = 219.06566700268m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-0.77091865)-sin(-0.77095303))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.717270862135143-0.717246905917938)×R²
    abs(-0.22381738--0.22386532)×2.3956217205745e-05×R²
    4.79399999999963e-05×2.3956217205745e-05×6371000²
    4.79399999999963e-05×2.3956217205745e-05×40589641000000     		ar = 47983.8453179112m²