Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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17 / 60866 / 40514
↖ ↑ ↗
← N 56.459455°
W 12.826538°		 ← 168.76 m → N 56.459455°
W 12.823791°		 →
↑
168.70 m
↓
↑
168.70 m
↓
N 56.457938°
W 12.826538°		 ← 168.76 m →
28 470 m²		 N 56.457938°
W 12.823791°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 17 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 60866 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 40514 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.464374542236328 y=0.309101104736328 und der Vergrößerungsstufe zoom=17 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.464374542236328 × 217)
    floor (0.464374542236328 × 131072)
    floor (60866.5)     		tx = 60866
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.309101104736328 × 217)
    floor (0.309101104736328 × 131072)
    floor (40514.5)     		ty = 40514
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 17 / 60866 / 40514 ti = "17/60866/40514"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/17/60866/40514.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 60866 ÷ 217
    60866 ÷ 131072     		x = 0.464370727539062
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 40514 ÷ 217
    40514 ÷ 131072     		y = 0.309097290039062
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.464370727539062 × 2 - 1) × π
    -0.071258544921875 × 3.1415926535     		Λ = -0.22386532
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.309097290039062 × 2 - 1) × π
    0.381805419921875 × 3.1415926535     		Φ = 1.19947710229305
    Länge (λ) Λ (unverändert) -0.22386532} λ = -0.22386532}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(1.19947710229305))-π/2
    2×atan(3.31838129502825)-π/2
    2×1.27809985942797-π/2
    2.55619971885595-1.57079632675     		φ = 0.98540339
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -0.22386532} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -12.826538°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 0.98540339 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 56.459455°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 60866 KachelY 40514 -0.22386532 0.98540339 -12.826538 56.459455
    Oben rechts KachelX + 1 60867 KachelY 40514 -0.22381738 0.98540339 -12.823791 56.459455
    Unten links KachelX 60866 KachelY + 1 40515 -0.22386532 0.98537691 -12.826538 56.457938
    Unten rechts KachelX + 1 60867 KachelY + 1 40515 -0.22381738 0.98537691 -12.823791 56.457938
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(0.98540339-0.98537691) × R
    2.64799999999399e-05 × 6371000     		dl = 168.704079999617m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(0.98540339-0.98537691) × R
    2.64799999999399e-05 × 6371000     		dr = 168.704079999617m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-0.22386532--0.22381738) × cos(0.98540339) × R
    4.79399999999963e-05 × 0.552526935847087 × 6371000     		do = 168.755948251016m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-0.22386532--0.22381738) × cos(0.98537691) × R
    4.79399999999963e-05 × 0.552549006602085 × 6371000     		du = 168.762689227694m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(0.98540339)-sin(0.98537691))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.552526935847087-0.552549006602085)×R²
    abs(-0.22381738--0.22386532)×2.20707549981602e-05×R²
    4.79399999999963e-05×2.20707549981602e-05×6371000²
    4.79399999999963e-05×2.20707549981602e-05×40589641000000     		ar = 28470.385610938m²