Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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17 / 60864 / 33733
↖ ↑ ↗
← N 65.434293°
W 12.832032°		 ← 126.98 m → N 65.434293°
W 12.829285°		 →
↑
126.97 m
↓
↑
126.97 m
↓
N 65.433151°
W 12.832032°		 ← 126.98 m →
16 123 m²		 N 65.433151°
W 12.829285°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 17 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 60864 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 33733 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.464359283447266 y=0.257366180419922 und der Vergrößerungsstufe zoom=17 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.464359283447266 × 217)
    floor (0.464359283447266 × 131072)
    floor (60864.5)     		tx = 60864
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.257366180419922 × 217)
    floor (0.257366180419922 × 131072)
    floor (33733.5)     		ty = 33733
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 17 / 60864 / 33733 ti = "17/60864/33733"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/17/60864/33733.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 60864 ÷ 217
    60864 ÷ 131072     		x = 0.46435546875
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 33733 ÷ 217
    33733 ÷ 131072     		y = 0.257362365722656
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.46435546875 × 2 - 1) × π
    -0.0712890625 × 3.1415926535     		Λ = -0.22396120
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.257362365722656 × 2 - 1) × π
    0.485275268554688 × 3.1415926535     		Φ = 1.52453721861665
    Länge (λ) Λ (unverändert) -0.22396120} λ = -0.22396120}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(1.52453721861665))-π/2
    2×atan(4.59301751439623)-π/2
    2×1.35642009175514-π/2
    2.71284018351028-1.57079632675     		φ = 1.14204386
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -0.22396120} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -12.832032°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 1.14204386 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 65.434293°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 60864 KachelY 33733 -0.22396120 1.14204386 -12.832032 65.434293
    Oben rechts KachelX + 1 60865 KachelY 33733 -0.22391326 1.14204386 -12.829285 65.434293
    Unten links KachelX 60864 KachelY + 1 33734 -0.22396120 1.14202393 -12.832032 65.433151
    Unten rechts KachelX + 1 60865 KachelY + 1 33734 -0.22391326 1.14202393 -12.829285 65.433151
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(1.14204386-1.14202393) × R
    1.99300000001124e-05 × 6371000     		dl = 126.974030000716m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(1.14204386-1.14202393) × R
    1.99300000001124e-05 × 6371000     		dr = 126.974030000716m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-0.22396120--0.22391326) × cos(1.14204386) × R
    4.79399999999963e-05 × 0.415736513372206 × 6371000     		do = 126.976632241716m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-0.22396120--0.22391326) × cos(1.14202393) × R
    4.79399999999963e-05 × 0.415754639327729 × 6371000     		du = 126.982168375095m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(1.14204386)-sin(1.14202393))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.415736513372206-0.415754639327729)×R²
    abs(-0.22391326--0.22396120)×1.81259555230295e-05×R²
    4.79399999999963e-05×1.81259555230295e-05×6371000²
    4.79399999999963e-05×1.81259555230295e-05×40589641000000     		ar = 16123.0861847802m²