Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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17 / 60864 / 33732
↖ ↑ ↗
← N 65.435435°
W 12.832032°		 ← 126.97 m → N 65.435435°
W 12.829285°		 →
↑
126.97 m
↓
↑
126.97 m
↓
N 65.434293°
W 12.832032°		 ← 126.98 m →
16 122 m²		 N 65.434293°
W 12.829285°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 17 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 60864 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 33732 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.464359283447266 y=0.257358551025391 und der Vergrößerungsstufe zoom=17 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.464359283447266 × 217)
    floor (0.464359283447266 × 131072)
    floor (60864.5)     		tx = 60864
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.257358551025391 × 217)
    floor (0.257358551025391 × 131072)
    floor (33732.5)     		ty = 33732
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 17 / 60864 / 33732 ti = "17/60864/33732"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/17/60864/33732.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 60864 ÷ 217
    60864 ÷ 131072     		x = 0.46435546875
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 33732 ÷ 217
    33732 ÷ 131072     		y = 0.257354736328125
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.46435546875 × 2 - 1) × π
    -0.0712890625 × 3.1415926535     		Λ = -0.22396120
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.257354736328125 × 2 - 1) × π
    0.48529052734375 × 3.1415926535     		Φ = 1.52458515551627
    Länge (λ) Λ (unverändert) -0.22396120} λ = -0.22396120}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(1.52458515551627))-π/2
    2×atan(4.59323769469311)-π/2
    2×1.35643005609775-π/2
    2.7128601121955-1.57079632675     		φ = 1.14206379
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -0.22396120} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -12.832032°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 1.14206379 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 65.435435°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 60864 KachelY 33732 -0.22396120 1.14206379 -12.832032 65.435435
    Oben rechts KachelX + 1 60865 KachelY 33732 -0.22391326 1.14206379 -12.829285 65.435435
    Unten links KachelX 60864 KachelY + 1 33733 -0.22396120 1.14204386 -12.832032 65.434293
    Unten rechts KachelX + 1 60865 KachelY + 1 33733 -0.22391326 1.14204386 -12.829285 65.434293
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(1.14206379-1.14204386) × R
    1.99299999998903e-05 × 6371000     		dl = 126.974029999301m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(1.14206379-1.14204386) × R
    1.99299999998903e-05 × 6371000     		dr = 126.974029999301m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-0.22396120--0.22391326) × cos(1.14206379) × R
    4.79399999999963e-05 × 0.415718387251551 × 6371000     		do = 126.971096057902m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-0.22396120--0.22391326) × cos(1.14204386) × R
    4.79399999999963e-05 × 0.415736513372206 × 6371000     		du = 126.976632241716m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(1.14206379)-sin(1.14204386))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.415718387251551-0.415736513372206)×R²
    abs(-0.22391326--0.22396120)×1.81261206553818e-05×R²
    4.79399999999963e-05×1.81261206553818e-05×6371000²
    4.79399999999963e-05×1.81261206553818e-05×40589641000000     		ar = 16122.3832362389m²