Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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17 / 60864 / 26816
↖ ↑ ↗
← N 72.235514°
W 12.832032°		 ← 93.19 m → N 72.235514°
W 12.829285°		 →
↑
93.14 m
↓
↑
93.14 m
↓
N 72.234676°
W 12.832032°		 ← 93.19 m →
8 680 m²		 N 72.234676°
W 12.829285°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 17 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 60864 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 26816 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.464359283447266 y=0.204593658447266 und der Vergrößerungsstufe zoom=17 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.464359283447266 × 217)
    floor (0.464359283447266 × 131072)
    floor (60864.5)     		tx = 60864
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.204593658447266 × 217)
    floor (0.204593658447266 × 131072)
    floor (26816.5)     		ty = 26816
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 17 / 60864 / 26816 ti = "17/60864/26816"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/17/60864/26816.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 60864 ÷ 217
    60864 ÷ 131072     		x = 0.46435546875
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 26816 ÷ 217
    26816 ÷ 131072     		y = 0.20458984375
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.46435546875 × 2 - 1) × π
    -0.0712890625 × 3.1415926535     		Λ = -0.22396120
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.20458984375 × 2 - 1) × π
    0.5908203125 × 3.1415926535     		Φ = 1.85611675328857
    Länge (λ) Λ (unverändert) -0.22396120} λ = -0.22396120}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(1.85611675328857))-π/2
    2×atan(6.39884018781053)-π/2
    2×1.41577193907977-π/2
    2.83154387815953-1.57079632675     		φ = 1.26074755
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -0.22396120} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -12.832032°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 1.26074755 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 72.235514°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 60864 KachelY 26816 -0.22396120 1.26074755 -12.832032 72.235514
    Oben rechts KachelX + 1 60865 KachelY 26816 -0.22391326 1.26074755 -12.829285 72.235514
    Unten links KachelX 60864 KachelY + 1 26817 -0.22396120 1.26073293 -12.832032 72.234676
    Unten rechts KachelX + 1 60865 KachelY + 1 26817 -0.22391326 1.26073293 -12.829285 72.234676
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(1.26074755-1.26073293) × R
    1.46199999999652e-05 × 6371000     		dl = 93.1440199997784m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(1.26074755-1.26073293) × R
    1.46199999999652e-05 × 6371000     		dr = 93.1440199997784m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-0.22396120--0.22391326) × cos(1.26074755) × R
    4.79399999999963e-05 × 0.305105087859742 × 6371000     		do = 93.1869472373197m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-0.22396120--0.22391326) × cos(1.26073293) × R
    4.79399999999963e-05 × 0.305119010726367 × 6371000     		du = 93.1911996391616m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(1.26074755)-sin(1.26073293))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.305105087859742-0.305119010726367)×R²
    abs(-0.22391326--0.22396120)×1.39228666249935e-05×R²
    4.79399999999963e-05×1.39228666249935e-05×6371000²
    4.79399999999963e-05×1.39228666249935e-05×40589641000000     		ar = 8680.00492025734m²