Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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17 / 60863 / 83493
↖ ↑ ↗
← S 44.160534°
W 12.834778°		 ← 219.06 m → S 44.160534°
W 12.832032°		 →
↑
219.10 m
↓
↑
219.10 m
↓
S 44.162504°
W 12.834778°		 ← 219.06 m →
47 996 m²		 S 44.162504°
W 12.832032°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 17 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 60863 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 83493 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.464351654052734 y=0.637004852294922 und der Vergrößerungsstufe zoom=17 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.464351654052734 × 217)
    floor (0.464351654052734 × 131072)
    floor (60863.5)     		tx = 60863
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.637004852294922 × 217)
    floor (0.637004852294922 × 131072)
    floor (83493.5)     		ty = 83493
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 17 / 60863 / 83493 ti = "17/60863/83493"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/17/60863/83493.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 60863 ÷ 217
    60863 ÷ 131072     		x = 0.464347839355469
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 83493 ÷ 217
    83493 ÷ 131072     		y = 0.637001037597656
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.464347839355469 × 2 - 1) × π
    -0.0713043212890625 × 3.1415926535     		Λ = -0.22400913
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.637001037597656 × 2 - 1) × π
    -0.274002075195312 × 3.1415926535     		Φ = -0.860802906477348
    Länge (λ) Λ (unverändert) -0.22400913} λ = -0.22400913}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-0.860802906477348))-π/2
    2×atan(0.422822459101973)-π/2
    2×0.400024805900565-π/2
    0.800049611801129-1.57079632675     		φ = -0.77074671
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -0.22400913} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -12.834778°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -0.77074671 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -44.160534°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 60863 KachelY 83493 -0.22400913 -0.77074671 -12.834778 -44.160534
    Oben rechts KachelX + 1 60864 KachelY 83493 -0.22396120 -0.77074671 -12.832032 -44.160534
    Unten links KachelX 60863 KachelY + 1 83494 -0.22400913 -0.77078110 -12.834778 -44.162504
    Unten rechts KachelX + 1 60864 KachelY + 1 83494 -0.22396120 -0.77078110 -12.832032 -44.162504
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-0.77074671--0.77078110) × R
    3.43900000000508e-05 × 6371000     		dl = 219.098690000323m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-0.77074671--0.77078110) × R
    3.43900000000508e-05 × 6371000     		dr = 219.098690000323m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-0.22400913--0.22396120) × cos(-0.77074671) × R
    4.79300000000016e-05 × 0.717390658370406 × 6371000     		do = 219.063867743031m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-0.22400913--0.22396120) × cos(-0.77078110) × R
    4.79300000000016e-05 × 0.717366699426527 × 6371000     		du = 219.056551591291m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-0.77074671)-sin(-0.77078110))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.717390658370406-0.717366699426527)×R²
    abs(-0.22396120--0.22400913)×2.39589438790766e-05×R²
    4.79300000000016e-05×2.39589438790766e-05×6371000²
    4.79300000000016e-05×2.39589438790766e-05×40589641000000     		ar = 47995.8049740033m²