Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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17 / 60861 / 33740
↖ ↑ ↗
← N 65.426299°
W 12.840271°		 ← 127.02 m → N 65.426299°
W 12.837524°		 →
↑
126.97 m
↓
↑
126.97 m
↓
N 65.425157°
W 12.840271°		 ← 127.02 m →
16 128 m²		 N 65.425157°
W 12.837524°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 17 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 60861 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 33740 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.464336395263672 y=0.257419586181641 und der Vergrößerungsstufe zoom=17 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.464336395263672 × 217)
    floor (0.464336395263672 × 131072)
    floor (60861.5)     		tx = 60861
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.257419586181641 × 217)
    floor (0.257419586181641 × 131072)
    floor (33740.5)     		ty = 33740
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 17 / 60861 / 33740 ti = "17/60861/33740"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/17/60861/33740.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 60861 ÷ 217
    60861 ÷ 131072     		x = 0.464332580566406
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 33740 ÷ 217
    33740 ÷ 131072     		y = 0.257415771484375
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.464332580566406 × 2 - 1) × π
    -0.0713348388671875 × 3.1415926535     		Λ = -0.22410501
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.257415771484375 × 2 - 1) × π
    0.48516845703125 × 3.1415926535     		Φ = 1.52420166031931
    Länge (λ) Λ (unverändert) -0.22410501} λ = -0.22410501}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(1.52420166031931))-π/2
    2×atan(4.59147654781597)-π/2
    2×1.35635032919187-π/2
    2.71270065838373-1.57079632675     		φ = 1.14190433
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -0.22410501} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -12.840271°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 1.14190433 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 65.426299°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 60861 KachelY 33740 -0.22410501 1.14190433 -12.840271 65.426299
    Oben rechts KachelX + 1 60862 KachelY 33740 -0.22405707 1.14190433 -12.837524 65.426299
    Unten links KachelX 60861 KachelY + 1 33741 -0.22410501 1.14188440 -12.840271 65.425157
    Unten rechts KachelX + 1 60862 KachelY + 1 33741 -0.22405707 1.14188440 -12.837524 65.425157
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(1.14190433-1.14188440) × R
    1.99300000001124e-05 × 6371000     		dl = 126.974030000716m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(1.14190433-1.14188440) × R
    1.99300000001124e-05 × 6371000     		dr = 126.974030000716m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-0.22410501--0.22405707) × cos(1.14190433) × R
    4.79399999999963e-05 × 0.415863409781221 × 6371000     		do = 127.015389671343m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-0.22410501--0.22405707) × cos(1.14188440) × R
    4.79399999999963e-05 × 0.415881534580449 × 6371000     		du = 127.020925451559m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(1.14190433)-sin(1.14188440))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.415863409781221-0.415881534580449)×R²
    abs(-0.22405707--0.22410501)×1.81247992276368e-05×R²
    4.79399999999963e-05×1.81247992276368e-05×6371000²
    4.79399999999963e-05×1.81247992276368e-05×40589641000000     		ar = 16128.0073493172m²