Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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17 / 60861 / 32922
↖ ↑ ↗
← N 66.344118°
W 12.840271°		 ← 122.55 m → N 66.344118°
W 12.837524°		 →
↑
122.51 m
↓
↑
122.51 m
↓
N 66.343016°
W 12.840271°		 ← 122.56 m →
15 014 m²		 N 66.343016°
W 12.837524°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 17 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 60861 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 32922 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.464336395263672 y=0.251178741455078 und der Vergrößerungsstufe zoom=17 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.464336395263672 × 217)
    floor (0.464336395263672 × 131072)
    floor (60861.5)     		tx = 60861
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.251178741455078 × 217)
    floor (0.251178741455078 × 131072)
    floor (32922.5)     		ty = 32922
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 17 / 60861 / 32922 ti = "17/60861/32922"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/17/60861/32922.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 60861 ÷ 217
    60861 ÷ 131072     		x = 0.464332580566406
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 32922 ÷ 217
    32922 ÷ 131072     		y = 0.251174926757812
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.464332580566406 × 2 - 1) × π
    -0.0713348388671875 × 3.1415926535     		Λ = -0.22410501
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.251174926757812 × 2 - 1) × π
    0.497650146484375 × 3.1415926535     		Φ = 1.56341404420851
    Länge (λ) Λ (unverändert) -0.22410501} λ = -0.22410501}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(1.56341404420851))-π/2
    2×atan(4.77509583652876)-π/2
    2×1.36435981404575-π/2
    2.72871962809151-1.57079632675     		φ = 1.15792330
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -0.22410501} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -12.840271°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 1.15792330 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 66.344118°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 60861 KachelY 32922 -0.22410501 1.15792330 -12.840271 66.344118
    Oben rechts KachelX + 1 60862 KachelY 32922 -0.22405707 1.15792330 -12.837524 66.344118
    Unten links KachelX 60861 KachelY + 1 32923 -0.22410501 1.15790407 -12.840271 66.343016
    Unten rechts KachelX + 1 60862 KachelY + 1 32923 -0.22405707 1.15790407 -12.837524 66.343016
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(1.15792330-1.15790407) × R
    1.92299999999257e-05 × 6371000     		dl = 122.514329999527m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(1.15792330-1.15790407) × R
    1.92299999999257e-05 × 6371000     		dr = 122.514329999527m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-0.22410501--0.22405707) × cos(1.15792330) × R
    4.79399999999963e-05 × 0.401242591941687 × 6371000     		do = 122.549815563298m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-0.22410501--0.22405707) × cos(1.15790407) × R
    4.79399999999963e-05 × 0.401260206005674 × 6371000     		du = 122.555195351826m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(1.15792330)-sin(1.15790407))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.401242591941687-0.401260206005674)×R²
    abs(-0.22405707--0.22410501)×1.76140639865374e-05×R²
    4.79399999999963e-05×1.76140639865374e-05×6371000²
    4.79399999999963e-05×1.76140639865374e-05×40589641000000     		ar = 15014.438096256m²