Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

Tele ← 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 → Makro
17 / 60860 / 40633
↖ ↑ ↗
← N 56.278436°
W 12.843017°		 ← 169.52 m → N 56.278436°
W 12.840271°		 →
↑
169.60 m
↓
↑
169.60 m
↓
N 56.276911°
W 12.843017°		 ← 169.53 m →
28 751 m²		 N 56.276911°
W 12.840271°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 17 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 60860 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 40633 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.464328765869141 y=0.310009002685547 und der Vergrößerungsstufe zoom=17 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.464328765869141 × 217)
    floor (0.464328765869141 × 131072)
    floor (60860.5)     		tx = 60860
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.310009002685547 × 217)
    floor (0.310009002685547 × 131072)
    floor (40633.5)     		ty = 40633
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 17 / 60860 / 40633 ti = "17/60860/40633"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/17/60860/40633.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 60860 ÷ 217
    60860 ÷ 131072     		x = 0.464324951171875
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 40633 ÷ 217
    40633 ÷ 131072     		y = 0.310005187988281
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.464324951171875 × 2 - 1) × π
    -0.07135009765625 × 3.1415926535     		Λ = -0.22415294
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.310005187988281 × 2 - 1) × π
    0.379989624023438 × 3.1415926535     		Φ = 1.19377261123826
    Länge (λ) Λ (unverändert) -0.22415294} λ = -0.22415294}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(1.19377261123826))-π/2
    2×atan(3.29950550817973)-π/2
    2×1.27652016709204-π/2
    2.55304033418407-1.57079632675     		φ = 0.98224401
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -0.22415294} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -12.843017°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 0.98224401 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 56.278436°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 60860 KachelY 40633 -0.22415294 0.98224401 -12.843017 56.278436
    Oben rechts KachelX + 1 60861 KachelY 40633 -0.22410501 0.98224401 -12.840271 56.278436
    Unten links KachelX 60860 KachelY + 1 40634 -0.22415294 0.98221739 -12.843017 56.276911
    Unten rechts KachelX + 1 60861 KachelY + 1 40634 -0.22410501 0.98221739 -12.840271 56.276911
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(0.98224401-0.98221739) × R
    2.66199999999772e-05 × 6371000     		dl = 169.596019999855m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(0.98224401-0.98221739) × R
    2.66199999999772e-05 × 6371000     		dr = 169.596019999855m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-0.22415294--0.22410501) × cos(0.98224401) × R
    4.79300000000016e-05 × 0.555157501460493 × 6371000     		do = 169.52402161571m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-0.22415294--0.22410501) × cos(0.98221739) × R
    4.79300000000016e-05 × 0.555179642322149 × 6371000     		du = 169.530782594171m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(0.98224401)-sin(0.98221739))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.555157501460493-0.555179642322149)×R²
    abs(-0.22410501--0.22415294)×2.21408616559726e-05×R²
    4.79300000000016e-05×2.21408616559726e-05×6371000²
    4.79300000000016e-05×2.21408616559726e-05×40589641000000     		ar = 28751.1726796632m²