Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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17 / 60860 / 33741
↖ ↑ ↗
← N 65.425157°
W 12.843017°		 ← 126.99 m → N 65.425157°
W 12.840271°		 →
↑
127.04 m
↓
↑
127.04 m
↓
N 65.424014°
W 12.843017°		 ← 127 m →
16 133 m²		 N 65.424014°
W 12.840271°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 17 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 60860 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 33741 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.464328765869141 y=0.257427215576172 und der Vergrößerungsstufe zoom=17 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.464328765869141 × 217)
    floor (0.464328765869141 × 131072)
    floor (60860.5)     		tx = 60860
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.257427215576172 × 217)
    floor (0.257427215576172 × 131072)
    floor (33741.5)     		ty = 33741
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 17 / 60860 / 33741 ti = "17/60860/33741"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/17/60860/33741.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 60860 ÷ 217
    60860 ÷ 131072     		x = 0.464324951171875
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 33741 ÷ 217
    33741 ÷ 131072     		y = 0.257423400878906
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.464324951171875 × 2 - 1) × π
    -0.07135009765625 × 3.1415926535     		Λ = -0.22415294
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.257423400878906 × 2 - 1) × π
    0.485153198242188 × 3.1415926535     		Φ = 1.52415372341969
    Länge (λ) Λ (unverändert) -0.22415294} λ = -0.22415294}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(1.52415372341969))-π/2
    2×atan(4.59125645194099)-π/2
    2×1.35634036137336-π/2
    2.71268072274673-1.57079632675     		φ = 1.14188440
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -0.22415294} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -12.843017°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 1.14188440 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 65.425157°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 60860 KachelY 33741 -0.22415294 1.14188440 -12.843017 65.425157
    Oben rechts KachelX + 1 60861 KachelY 33741 -0.22410501 1.14188440 -12.840271 65.425157
    Unten links KachelX 60860 KachelY + 1 33742 -0.22415294 1.14186446 -12.843017 65.424014
    Unten rechts KachelX + 1 60861 KachelY + 1 33742 -0.22410501 1.14186446 -12.840271 65.424014
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(1.14188440-1.14186446) × R
    1.99399999998295e-05 × 6371000     		dl = 127.037739998914m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(1.14188440-1.14186446) × R
    1.99399999998295e-05 × 6371000     		dr = 127.037739998914m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-0.22415294--0.22410501) × cos(1.14188440) × R
    4.79300000000016e-05 × 0.415881534580449 × 6371000     		do = 126.994429639005m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-0.22415294--0.22410501) × cos(1.14186446) × R
    4.79300000000016e-05 × 0.415899668308591 × 6371000     		du = 126.999966991042m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(1.14188440)-sin(1.14186446))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.415881534580449-0.415899668308591)×R²
    abs(-0.22410501--0.22415294)×1.81337281422445e-05×R²
    4.79300000000016e-05×1.81337281422445e-05×6371000²
    4.79300000000016e-05×1.81337281422445e-05×40589641000000     		ar = 16133.4370607532m²