Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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14 / 6086 / 10137
↖ ↑ ↗
← S 39.249271°
W 46.274414°		 ← 1 892.03 m → S 39.249271°
W 46.252441°		 →
↑
1 891.80 m
↓
↑
1 891.80 m
↓
S 39.266285°
W 46.274414°		 ← 1 891.57 m →
3 578 912 m²		 S 39.266285°
W 46.252441°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 14 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 6086 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 10137 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.371490478515625 y=0.618743896484375 und der Vergrößerungsstufe zoom=14 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.371490478515625 × 214)
    floor (0.371490478515625 × 16384)
    floor (6086.5)     		tx = 6086
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.618743896484375 × 214)
    floor (0.618743896484375 × 16384)
    floor (10137.5)     		ty = 10137
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 14 / 6086 / 10137 ti = "14/6086/10137"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/14/6086/10137.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 6086 ÷ 214
    6086 ÷ 16384     		x = 0.3714599609375
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 10137 ÷ 214
    10137 ÷ 16384     		y = 0.61871337890625
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.3714599609375 × 2 - 1) × π
    -0.257080078125 × 3.1415926535     		Λ = -0.80764088
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.61871337890625 × 2 - 1) × π
    -0.2374267578125 × 3.1415926535     		Φ = -0.745898158088074
    Länge (λ) Λ (unverändert) -0.80764088} λ = -0.80764088}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-0.745898158088074))-π/2
    2×atan(0.474308104912641)-π/2
    2×0.442883660768894-π/2
    0.885767321537787-1.57079632675     		φ = -0.68502901
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -0.80764088} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -46.274414°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -0.68502901 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -39.249271°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 6086 KachelY 10137 -0.80764088 -0.68502901 -46.274414 -39.249271
    Oben rechts KachelX + 1 6087 KachelY 10137 -0.80725739 -0.68502901 -46.252441 -39.249271
    Unten links KachelX 6086 KachelY + 1 10138 -0.80764088 -0.68532595 -46.274414 -39.266285
    Unten rechts KachelX + 1 6087 KachelY + 1 10138 -0.80725739 -0.68532595 -46.252441 -39.266285
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-0.68502901--0.68532595) × R
    0.000296939999999912 × 6371000     		dl = 1891.80473999944m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-0.68502901--0.68532595) × R
    0.000296939999999912 × 6371000     		dr = 1891.80473999944m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-0.80764088--0.80725739) × cos(-0.68502901) × R
    0.000383490000000042 × 0.774400692922009 × 6371000     		do = 1892.02722633351m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-0.80764088--0.80725739) × cos(-0.68532595) × R
    0.000383490000000042 × 0.77421278618903 × 6371000     		du = 1891.56812982435m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-0.68502901)-sin(-0.68532595))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.774400692922009-0.77421278618903)×R²
    abs(-0.80725739--0.80764088)×0.000187906732979748×R²
    0.000383490000000042×0.000187906732979748×6371000²
    0.000383490000000042×0.000187906732979748×40589641000000     		ar = 3578911.84080789m²