Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

Tele ← 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 → Makro
17 / 60859 / 33739
↖ ↑ ↗
← N 65.427441°
W 12.845764°		 ← 127.01 m → N 65.427441°
W 12.843017°		 →
↑
127.04 m
↓
↑
127.04 m
↓
N 65.426299°
W 12.845764°		 ← 127.02 m →
16 135 m²		 N 65.426299°
W 12.843017°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 17 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 60859 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 33739 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.464321136474609 y=0.257411956787109 und der Vergrößerungsstufe zoom=17 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.464321136474609 × 217)
    floor (0.464321136474609 × 131072)
    floor (60859.5)     		tx = 60859
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.257411956787109 × 217)
    floor (0.257411956787109 × 131072)
    floor (33739.5)     		ty = 33739
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 17 / 60859 / 33739 ti = "17/60859/33739"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/17/60859/33739.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 60859 ÷ 217
    60859 ÷ 131072     		x = 0.464317321777344
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 33739 ÷ 217
    33739 ÷ 131072     		y = 0.257408142089844
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.464317321777344 × 2 - 1) × π
    -0.0713653564453125 × 3.1415926535     		Λ = -0.22420088
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.257408142089844 × 2 - 1) × π
    0.485183715820312 × 3.1415926535     		Φ = 1.52424959721893
    Länge (λ) Λ (unverändert) -0.22420088} λ = -0.22420088}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(1.52424959721893))-π/2
    2×atan(4.59169665424192)-π/2
    2×1.35636029657583-π/2
    2.71272059315166-1.57079632675     		φ = 1.14192427
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -0.22420088} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -12.845764°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 1.14192427 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 65.427441°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 60859 KachelY 33739 -0.22420088 1.14192427 -12.845764 65.427441
    Oben rechts KachelX + 1 60860 KachelY 33739 -0.22415294 1.14192427 -12.843017 65.427441
    Unten links KachelX 60859 KachelY + 1 33740 -0.22420088 1.14190433 -12.845764 65.426299
    Unten rechts KachelX + 1 60860 KachelY + 1 33740 -0.22415294 1.14190433 -12.843017 65.426299
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(1.14192427-1.14190433) × R
    1.99400000000516e-05 × 6371000     		dl = 127.037740000329m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(1.14192427-1.14190433) × R
    1.99400000000516e-05 × 6371000     		dr = 127.037740000329m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-0.22420088--0.22415294) × cos(1.14192427) × R
    4.79399999999963e-05 × 0.415845275722457 × 6371000     		do = 127.009851063026m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-0.22420088--0.22415294) × cos(1.14190433) × R
    4.79399999999963e-05 × 0.415863409781221 × 6371000     		du = 127.015389671343m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(1.14192427)-sin(1.14190433))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.415845275722457-0.415863409781221)×R²
    abs(-0.22415294--0.22420088)×1.81340587642742e-05×R²
    4.79399999999963e-05×1.81340587642742e-05×6371000²
    4.79399999999963e-05×1.81340587642742e-05×40589641000000     		ar = 16135.3962434141m²