Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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17 / 60859 / 26440
↖ ↑ ↗
← N 72.547910°
W 12.845764°		 ← 91.60 m → N 72.547910°
W 12.843017°		 →
↑
91.55 m
↓
↑
91.55 m
↓
N 72.547086°
W 12.845764°		 ← 91.60 m →
8 386 m²		 N 72.547086°
W 12.843017°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 17 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 60859 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 26440 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.464321136474609 y=0.201725006103516 und der Vergrößerungsstufe zoom=17 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.464321136474609 × 217)
    floor (0.464321136474609 × 131072)
    floor (60859.5)     		tx = 60859
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.201725006103516 × 217)
    floor (0.201725006103516 × 131072)
    floor (26440.5)     		ty = 26440
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 17 / 60859 / 26440 ti = "17/60859/26440"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/17/60859/26440.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 60859 ÷ 217
    60859 ÷ 131072     		x = 0.464317321777344
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 26440 ÷ 217
    26440 ÷ 131072     		y = 0.20172119140625
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.464317321777344 × 2 - 1) × π
    -0.0713653564453125 × 3.1415926535     		Λ = -0.22420088
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.20172119140625 × 2 - 1) × π
    0.5965576171875 × 3.1415926535     		Φ = 1.87414102754572
    Länge (λ) Λ (unverändert) -0.22420088} λ = -0.22420088}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(1.87414102754572))-π/2
    2×atan(6.51522032127771)-π/2
    2×1.41849811017838-π/2
    2.83699622035675-1.57079632675     		φ = 1.26619989
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -0.22420088} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -12.845764°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 1.26619989 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 72.547910°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 60859 KachelY 26440 -0.22420088 1.26619989 -12.845764 72.547910
    Oben rechts KachelX + 1 60860 KachelY 26440 -0.22415294 1.26619989 -12.843017 72.547910
    Unten links KachelX 60859 KachelY + 1 26441 -0.22420088 1.26618552 -12.845764 72.547086
    Unten rechts KachelX + 1 60860 KachelY + 1 26441 -0.22415294 1.26618552 -12.843017 72.547086
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(1.26619989-1.26618552) × R
    1.43699999999303e-05 × 6371000     		dl = 91.5512699995558m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(1.26619989-1.26618552) × R
    1.43699999999303e-05 × 6371000     		dr = 91.5512699995558m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-0.22420088--0.22415294) × cos(1.26619989) × R
    4.79399999999963e-05 × 0.299908213232991 × 6371000     		do = 91.5996879587572m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-0.22420088--0.22415294) × cos(1.26618552) × R
    4.79399999999963e-05 × 0.299921921723079 × 6371000     		du = 91.6038748844865m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(1.26619989)-sin(1.26618552))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.299908213232991-0.299921921723079)×R²
    abs(-0.22415294--0.22420088)×1.37084900877493e-05×R²
    4.79399999999963e-05×1.37084900877493e-05×6371000²
    4.79399999999963e-05×1.37084900877493e-05×40589641000000     		ar = 8386.25942350395m²