Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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17 / 60858 / 41094
↖ ↑ ↗
← N 55.569028°
W 12.848511°		 ← 172.69 m → N 55.569028°
W 12.845764°		 →
↑
172.65 m
↓
↑
172.65 m
↓
N 55.567475°
W 12.848511°		 ← 172.70 m →
29 817 m²		 N 55.567475°
W 12.845764°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 17 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 60858 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 41094 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.464313507080078 y=0.313526153564453 und der Vergrößerungsstufe zoom=17 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.464313507080078 × 217)
    floor (0.464313507080078 × 131072)
    floor (60858.5)     		tx = 60858
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.313526153564453 × 217)
    floor (0.313526153564453 × 131072)
    floor (41094.5)     		ty = 41094
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 17 / 60858 / 41094 ti = "17/60858/41094"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/17/60858/41094.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 60858 ÷ 217
    60858 ÷ 131072     		x = 0.464309692382812
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 41094 ÷ 217
    41094 ÷ 131072     		y = 0.313522338867188
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.464309692382812 × 2 - 1) × π
    -0.071380615234375 × 3.1415926535     		Λ = -0.22424882
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.313522338867188 × 2 - 1) × π
    0.372955322265625 × 3.1415926535     		Φ = 1.17167370051341
    Länge (λ) Λ (unverändert) -0.22424882} λ = -0.22424882}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(1.17167370051341))-π/2
    2×atan(3.22738980462174)-π/2
    2×1.27032941427053-π/2
    2.54065882854106-1.57079632675     		φ = 0.96986250
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -0.22424882} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -12.848511°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 0.96986250 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 55.569028°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 60858 KachelY 41094 -0.22424882 0.96986250 -12.848511 55.569028
    Oben rechts KachelX + 1 60859 KachelY 41094 -0.22420088 0.96986250 -12.845764 55.569028
    Unten links KachelX 60858 KachelY + 1 41095 -0.22424882 0.96983540 -12.848511 55.567475
    Unten rechts KachelX + 1 60859 KachelY + 1 41095 -0.22420088 0.96983540 -12.845764 55.567475
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(0.96986250-0.96983540) × R
    2.70999999999466e-05 × 6371000     		dl = 172.65409999966m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(0.96986250-0.96983540) × R
    2.70999999999466e-05 × 6371000     		dr = 172.65409999966m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-0.22424882--0.22420088) × cos(0.96986250) × R
    4.79399999999963e-05 × 0.565412947601734 × 6371000     		do = 172.691667926828m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-0.22424882--0.22420088) × cos(0.96983540) × R
    4.79399999999963e-05 × 0.565435299690281 × 6371000     		du = 172.698494830013m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(0.96986250)-sin(0.96983540))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.565412947601734-0.565435299690281)×R²
    abs(-0.22420088--0.22424882)×2.23520885475059e-05×R²
    4.79399999999963e-05×2.23520885475059e-05×6371000²
    4.79399999999963e-05×2.23520885475059e-05×40589641000000     		ar = 29816.5138514019m²