Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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17 / 60858 / 40627
↖ ↑ ↗
← N 56.287583°
W 12.848511°		 ← 169.52 m → N 56.287583°
W 12.845764°		 →
↑
169.47 m
↓
↑
169.47 m
↓
N 56.286059°
W 12.848511°		 ← 169.53 m →
28 729 m²		 N 56.286059°
W 12.845764°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 17 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 60858 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 40627 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.464313507080078 y=0.309963226318359 und der Vergrößerungsstufe zoom=17 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.464313507080078 × 217)
    floor (0.464313507080078 × 131072)
    floor (60858.5)     		tx = 60858
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.309963226318359 × 217)
    floor (0.309963226318359 × 131072)
    floor (40627.5)     		ty = 40627
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 17 / 60858 / 40627 ti = "17/60858/40627"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/17/60858/40627.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 60858 ÷ 217
    60858 ÷ 131072     		x = 0.464309692382812
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 40627 ÷ 217
    40627 ÷ 131072     		y = 0.309959411621094
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.464309692382812 × 2 - 1) × π
    -0.071380615234375 × 3.1415926535     		Λ = -0.22424882
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.309959411621094 × 2 - 1) × π
    0.380081176757812 × 3.1415926535     		Φ = 1.19406023263598
    Länge (λ) Λ (unverändert) -0.22424882} λ = -0.22424882}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(1.19406023263598))-π/2
    2×atan(3.30045465305643)-π/2
    2×1.27659999513135-π/2
    2.5531999902627-1.57079632675     		φ = 0.98240366
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -0.22424882} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -12.848511°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 0.98240366 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 56.287583°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 60858 KachelY 40627 -0.22424882 0.98240366 -12.848511 56.287583
    Oben rechts KachelX + 1 60859 KachelY 40627 -0.22420088 0.98240366 -12.845764 56.287583
    Unten links KachelX 60858 KachelY + 1 40628 -0.22424882 0.98237706 -12.848511 56.286059
    Unten rechts KachelX + 1 60859 KachelY + 1 40628 -0.22420088 0.98237706 -12.845764 56.286059
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(0.98240366-0.98237706) × R
    2.65999999999877e-05 × 6371000     		dl = 169.468599999922m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(0.98240366-0.98237706) × R
    2.65999999999877e-05 × 6371000     		dr = 169.468599999922m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-0.22424882--0.22420088) × cos(0.98240366) × R
    4.79399999999963e-05 × 0.555024706258117 × 6371000     		do = 169.518831627155m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-0.22424882--0.22420088) × cos(0.98237706) × R
    4.79399999999963e-05 × 0.55504683284251 × 6371000     		du = 169.525589655567m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(0.98240366)-sin(0.98237706))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.555024706258117-0.55504683284251)×R²
    abs(-0.22420088--0.22424882)×2.21265843934892e-05×R²
    4.79399999999963e-05×2.21265843934892e-05×6371000²
    4.79399999999963e-05×2.21265843934892e-05×40589641000000     		ar = 28728.6917080331m²